ఆపరేషన్ పర్వత ప్రయాణం

                                                    ఆపరేషన్ పర్వత ప్రయాణం

మరో శుక్రవారం మధ్యాహ్నం, మరో ఆల్జీబ్రా క్లాసు. రాజారావు గడియారం వైపు చూస్తూ, సెకండ్ల ముల్లు వెనక్కి వెళ్తోందని నిశ్చయించుకున్నాడు. అతని పక్కన, సోనియా తన నోట్‌బుక్‌లో పర్వత శ్రేణిని గీస్తోంది. "ఊహించుకో," ఆమె గుసగుసలాడింది, "పరీక్షల తర్వాత ఒక ట్రిప్. మనం, ఆ పర్వతాలు మాత్రమే." రాజారావు కళ్ళు మెరిశాయి. బోర్డు మీద ఉన్న 'x' మరియు 'y'ల కన్నా ఒక సాహస యాత్ర చేయాలనే కల చాలా ఉత్తేజకరంగా అనిపించింది.

ఆ సాయంత్రం, వాళ్ళు ఒక కేఫ్‌లో కలిశారు. "సరే, ఆపరేషన్ పర్వత ప్రయాణం మొదలైంది," రాజారావు తన ల్యాప్‌టాప్ తెరుస్తూ ప్రకటించాడు. "అన్నింటికన్నా ముందు: మనం ఎక్కడికి వెళ్తున్నాం?" సోనియా తన బొమ్మ వైపు చూపించింది. "పర్వతాలు ఉన్న చోటికి!" "సరే," రాజారావు టైప్ చేస్తూ, "కానీ ఏ పర్వతాలు? ఆ ప్రదేశమే మన మొదటి పెద్ద అజ్ఞాతం. దాన్ని 'D' అని పిలుద్దాం, అంటే డెస్టినేషన్. 'D' మనాలి కావచ్చు, లేదా ఊటీ కావచ్చు. 'D' విలువ మిగతా అన్నింటినీ మార్చేస్తుంది."

"ఇప్పుడు అసలు చిక్కు: డబ్బు," రాజారావు గంభీరంగా అన్నాడు. "మొత్తం ఖర్చు కొన్ని విషయాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది." అతను తన నోట్‌బుక్‌లో ఒక సమీకరణం రాయడం మొదలుపెట్టాడు: మొత్తం ఖర్చు = T + A + F. "'T' అంటే రవాణా, 'A' అంటే వసతి, 'F' అంటే ఆహారం," అని వివరించాడు. "ప్రతిదీ ఒక వేరియబుల్.

సోనియా ఆ సమీకరణం వైపు చూసింది. "అయితే, 'T'ని ఎలా కనుక్కుంటాం?" "అదే," రాజారావు బదులిచ్చాడు, "'T' అనేది 'D'పై ఆధారపడి ఉంటుంది. 'D' మనాలి అయితే, రైలు టిక్కెట్ సుమారు ₹2000 అవుతుంది. 'D' ఊటీ అయితే, బస్సు ఛార్జీ ₹1500 కావచ్చు. 'T' విలువ 'D' విలువపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఇది వేరియబుల్స్ మధ్య సంబంధం."

"మరి వసతి కోసం 'A' సంగతేంటి?" సోనియా అడిగింది. "అది వ్యక్తుల సంఖ్య 'P'పై ఆధారపడి ఉంటుంది, కదా?" "ఖచ్చితంగా!" రాజారావు ఉత్సాహంగా అన్నాడు. "మనం ఎన్ని రాత్రులు ఉంటామనే దానిపై కూడా ఆధారపడి ఉంటుంది. దాన్ని 'N' అని పిలుద్దాం. కాబట్టి, వసతి ఖర్చు 'A', నిజానికి 'P' మరియు 'N' ఆధారంగా చేసే ఒక లెక్క. ఇది ఒక పజిల్ లాంటిది."

సోనియా నవ్వింది. "అంటే మన ట్రిప్ మొత్తం ఒక పెద్ద, క్లిష్టమైన గణిత సమస్య అన్నమాట!" రాజారావు నవ్వాడు. "దాదాపు అంతే! మొత్తం ఖర్చు అనేది స్థిరమైన సంఖ్య కాదు. అది మన ఎంపికల ఆధారంగా మారే ఒక సమీకరణం. మొత్తం ఖర్చు = (D కోసం రవాణా) + (P మరియు N కోసం వసతి) + (P మరియు N కోసం ఆహారం)."

"ఇది క్లిష్టంగా మారుతోంది," సోనియా ఒప్పుకుంది. "కొన్ని నిర్ణయాలు తీసుకుందాం. ఈ వేరియబుల్స్‌లో కొన్నింటిని స్థిరపరుద్దాం." "సరే," రాజారావు అంగీకరించాడు. "నిర్ణయించుకుందాం. గమ్యస్థానం 'D' మనాలి అవుతుంది. మాయ, అర్జున్‌లను అడుగుదాం. వాళ్ళు అవునంటే, 'P'ని 4గా సెట్ చేద్దాం. ఈ వేరియబుల్స్‌కు విలువలు ఇవ్వడం ద్వారా, మనం నిజమైన బడ్జెట్‌ను లెక్కించడం ప్రారంభించవచ్చు.

మరుసటి రోజు, మాయ, అర్జున్ ఒప్పుకున్నారు. 'P' అధికారికంగా 4 అయ్యింది. రాజారావు అంకెలను నింపడం ప్రారంభించాడు. "సరే, D = మనాలి, P = 4 తో, మనం అసలు ఖర్చులను కనుక్కోవచ్చు. రైలు ('T') ఒక్కొక్కరికి ₹2000. మనకు రెండు రాత్రులకు ('N'=2) రెండు గదులు కావాలి, కాబట్టి వసతి ('A') కూడా సెట్ అయిపోయింది. అకస్మాత్తుగా, వేరియబుల్స్ స్థిరాంకాలుగా మారుతున్నాయి, సమీకరణం వారికి నిజమైన సమాధానాన్ని ఇస్తోంది."

📊 Arithmetic Progression Quiz

Master the concepts of AP with this interactive quiz!

📚 Arithmetic Progression - Theory & Formulas

🎯 What is Arithmetic Progression (AP)?

An Arithmetic Progression is a sequence of numbers in which the difference between consecutive terms is constant.

Example: 2, 5, 8, 11, 14, ... (difference = 3)

📋 General Form of AP

a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, ...

Where:

• a = First term
• d = Common difference

Example: If a = 3 and d = 4, then AP is: 3, 7, 11, 15, 19, ...

📐 nth Term Formula

a_n = a + (n-1)d

Example: Find 10th term of AP: 5, 8, 11, 14, ...

Here, a = 5, d = 3

a₁₀ = 5 + (10-1)×3 = 5 + 27 = 32

➕ Sum Formula

S_n = n2 × [2a + (n-1)d]

Alternative:

S_n = n2 × [First term + Last term]

Example: Find sum of first 6 terms of AP: 2, 5, 8, 11, ...

Here, a = 2, d = 3, n = 6

S₆ = 62 × [2×2 + (6-1)×3] = 3 × [4 + 15] = 3 × 19 = 57

👨‍🎓 Student Information

Student Name:

Section:

School Name:

0%

Score

🏆 Class Leaderboard

📋 Detailed Quiz Answers

ఆశా కిరణం

ఆశా కిరణం

Linear Equations Practice

Interactive learning with instant feedback and graphing

Practice Problems

Difficulty: Easy Medium Hard

Method: Any Method Substitution Elimination

Score: 0 | Streak: 0 | Highest Streak: 0

Solve the following system:

Solution:

Solution:

Graphical Solution

Graph shows the two equations and their intersection point.

Saved Problems

Progress Stats

Problems attempted: 0

Correct answers: 0

Accuracy: 0%

Challenge Problem

Quick Reference

Substitution Method:

1. Solve one equation for one variable
2. Substitute into other equation
3. Solve for remaining variable
4. Back-substitute to find first variable

Elimination Method:

1. Multiply equations to align coefficients
2. Add/subtract to eliminate one variable
3. Solve for remaining variable
4. Substitute back to find first variable

© 2023 MathHub | Linear Equations Practice

Keep practicing to improve your skills!

రాజారావు మరియు నిశ్శబ్ద తరగతి గది

 ఆగష్టు పదకొండవ తేదీ, 2025న, రాజారావు గారి తరగతి గదిలో ఒక భారమైన నిశ్శబ్దం ఆవరించి ఉంది, కేవలం పరీక్షా పత్రాల సవ్వడి మాత్రమే ఆ నిశ్శబ్దాన్ని ఛేదిస్తోంది. ఆయన FA-1 పరీక్ష ఫలితాలను చూశారు, మరియు ఆయన గుండె బరువెక్కింది. ముప్పై ఐదు మంది విద్యార్థులలో, కేవలం ఐదుగురు మాత్రమే పది మార్కుల కంటే ఎక్కువ సాధించగలిగారు. మిగిలిన వారందరూ విఫలమయ్యారు. ఆ పేజీలోని అంకెలు ఆయన వైపే చూస్తున్నట్లుగా అనిపించాయి, ఒక తీర్పులా, ఆయన లోతైన భయాలకు ప్రతిబింబంలా.

ఆయన తన కుర్చీలో కూలబడిపోయారు, ఆ రోజు భారం ఆయనపై పడినట్లుగా అనిపించింది. "నేను PPTలను ఉపయోగించాను," అని ఆయన ఖాళీ గదిలో గొణుక్కున్నారు, "నేను గ్రూప్ యాక్టివిటీలను ప్లాన్ చేశాను, సెలవు దినాల్లో కూడా తరగతులు నిర్వహించాను." ఆయన ఆ అంతరాన్ని పూడ్చడానికి తనకి తోచినదంతా ప్రయత్నించారు, కానీ ఆయన విద్యార్థులు దూరంగానే ఉండిపోయారు, వారి దృష్టి వారి మొబైల్ ఫోన్ల మెరుస్తున్న తెరలపై బందీగా ఉంది, వారి మనసులు ఇన్‌స్టాగ్రామ్ యొక్క అంతులేని స్క్రోల్‌లో కోల్పోయాయి. "నేను ఒక ఉపాధ్యాయుడిగా విఫలమయ్యానా?"

మరుసటి రోజు, రాజారావు తన మామూలు పాఠ్య ప్రణాళికతో కాకుండా, ఒక నిశ్శబ్ద సంకల్పంతో లోపలికి నడిచారు. ఆయన పేపర్లను పక్కన పెట్టి, సంబంధం లేని ముఖాల సముద్రం వైపు చూశారు. "ఈ రోజు, సమీకరణాలు లేవు, సూత్రాలు లేవు," అని ఆయన ప్రకటించారు, ఆయన గొంతు దృఢంగా ఉంది. "నేను వేరే విషయం తెలుసుకోవాలనుకుంటున్నాను. చెప్పండి... మీరు ఏమవ్వాలని కలలు కంటున్నారు?" గదిలో ఒక గందరగోళం అలలా వ్యాపించింది. విద్యార్థులు ఒకరినొకరు చూసుకున్నారు, ఏమి చెప్పాలో తెలియక.

నిశ్శబ్దం, మందంగా మరియు అనిశ్చితంగా సాగింది. అప్పుడు, ఒక చిన్న గొంతు, దాదాపుగా ఒక గుసగుసలా, ఆ నిశ్శబ్దాన్ని ఛేదించింది. "డాక్టర్, సార్," అంది బాల భార్గవి, ఆమె చూపులు ఆమె డెస్క్ మీదనే ఉన్నాయి. ధైర్యం తెచ్చుకుని, మరొక విద్యార్థిని, భువన సింధు, తన తల పైకెత్తి, కొంచెం గట్టిగా అంది, "ఇంజనీర్." ఆ నిశ్శబ్ద గదిలో ఒక సున్నితమైన సంబంధం యొక్క దారం అల్లబడుతోంది.

ఆ దారం బలపడింది. "పోలీస్ ఆఫీసర్," అంది చందన ప్రియ నిహారిక, ఆమె గొంతు తడబడినప్పటికీ స్పష్టంగా ఉంది. అప్పుడు, దీపిక నిటారుగా కూర్చుంది, ఆమె గొంతులో ఒక ఆత్మవిశ్వాసం ఉంది. "వ్యాపారవేత్త." చాలా కాలం తర్వాత, రాజారావు పెదవులపై ఒక నిజమైన చిరునవ్వు విరిసింది. ఇవి కేవలం సమాధానాలు కావు; అవి చీకటిలో ఆశ యొక్క మెరుపులు.

"అద్భుతమైన కలలు!" అన్నారు రాజారావు, ఆయన గొంతు భావోద్వేగంతో నిండిపోయింది. "కానీ జాగ్రత్తగా వినండి... వాటిని చేరుకోవడానికి మీరు దాటాల్సిన వంతెన గణితం. అది లేకుండా, ఆ కలలు దూరంగానే ఉండిపోతాయి." ఆయన ఒక్కో విద్యార్థి వైపు చూశారు. "నేను మీకు కేవలం మార్కులు ఇవ్వడానికి ఇక్కడ లేను... ఆ వంతెనను దాటించడానికి మీకు మార్గనిర్దేశం చేయడానికి ఇక్కడ ఉన్నాను." మొదటిసారిగా, వారు ఆయన్ని కేవలం ఒక ఉపాధ్యాయుడిగా కాకుండా, ఒక మార్గదర్శకుడిగా చూశారు.

ఆ తర్వాతి రోజుల్లో, తరగతి గది రూపాంతరం చెందింది. "ఆల్జీబ్రా అంటే క్రికెట్ స్కోర్ల లాంటిది!" అని రాజారావు కొత్త శక్తితో గర్జించారు. "భిన్నాలా? స్నేహితుల మధ్య చాక్లెట్లను పంచుకుంటున్నట్లు ఊహించుకోండి! మరి జ్యామితి? అది మీ ఇష్టమైన బ్రాండ్ల లోగోలలో ఉంది!" ఆయన కేవలం గణితం బోధించడం లేదు; ఆయన వారి ప్రపంచంలో దాని ఉనికిని వెల్లడిస్తున్నారు.

విద్యార్థులు ముందుకు వంగడం ప్రారంభించారు. ఉదాసీనత యొక్క నిశ్శబ్దం స్థానంలో ఉత్సుకత యొక్క సందడి నెలకొంది. "సార్, ఆ స్టెప్‌ను మళ్ళీ వివరించగలరా? నాకు దాదాపుగా అర్థమైంది!" అని భువన సింధు అడిగింది. కొన్ని క్షణాల తర్వాత, చందన ప్రియ నిహారిక తన సీటు నుండి పైకి లేచింది. "సార్, నేను పజిల్‌ను పరిష్కరించాను! మొదటిసారిగా, నేను సరిగ్గా చేశాను!" అని ఆమె ఆనందంతో కేక వేసింది, ఆమె ముఖం విజయంతో వెలిగిపోతోంది.

ఆ మెరుపు అంటువ్యాధిలా వ్యాపించింది. రాజారావు దీపిక ఒక స్నేహితురాలికి ఒక సమస్యను ఎలా పరిష్కరించాలో ఓపికగా చూపించడం చూశారు. "చింతించకు," అంది ఆమె, "నాకు అర్థమైతే, నీకు కూడా అర్థమవుతుంది." ఆయన బాల భార్గవి పని చేసుకుంటూ తనలో తాను నవ్వుకోవడం గమనించారు, సమీకరణాలు ఇకపై భయానికి మూలం కాదు, ఆసక్తికి మూలం. ఆయన వెనక్కి నిలబడి చూశారు, ఆయన ఛాతీలో ఒక నిశ్శబ్దమైన, గంభీరమైన గర్వం ఉప్పొంగుతోంది.

రాజారావు తాను విఫలమయ్యానని అనుకున్నారు. కానీ ఇప్పుడు ఆయన చూశారు, బోధన అంటే జ్ఞానాన్ని బలవంతంగా రుద్దడం కాదు; అది ఉత్సుకతను రగిలించడం. ఆయన బాల భార్గవిలో, భువన సింధులో, చందన ప్రియ నిహారికలో, మరియు దీపికలో ఆ మెరుపును చూశారు. ఆయనకు తెలుసు, ఆయన ఆత్మను వెచ్చగా చేసిన ఒక నిశ్చయంతో, రేపు, అది వ్యాపిస్తుందని. మార్కులు పనితీరును కొలుస్తాయి, కానీ సామర్థ్యాన్ని కాదు. ఒక ఉపాధ్యాయుడి నిజమైన విజయం విద్యార్థులు తమ సొంత అభ్యాస మెరుపును కనుగొన్నప్పుడే ఉంటుంది.

RajaRao and the Silent Classroom

 On the eleventh of August, 2025, a heavy silence hung in Rajarao’s classroom, broken only by the soft rustle of exam papers. He looked at the results of the FA-1 exam, and his heart sank. Out of thirty-five students, only five had managed to score above ten marks. The rest had failed. The numbers on the page seemed to stare back at him, a judgment, a reflection of his deepest fears.

He sank into his chair, the weight of the day pressing down on him. “I used PPTs,” he muttered to the empty room, “I planned group activities, I even held classes on holidays.” He had tried everything he could think of to bridge the gap, but his students remained distant, their attention held captive by the glowing screens of their mobiles, their minds lost in the endless scroll of Instagram. “Have I failed as a teacher?”

The next day, Rajarao walked in not with his usual lesson plan, but with a quiet resolve. He set the papers aside and looked out at the sea of disconnected faces. “Today, no equations, no formulas,” he announced, his voice firm. “I want to know something else. Tell me… what do you dream of becoming?” A ripple of confusion went through the room. The students looked at each other, unsure of what to say.

The silence stretched, thick and uncertain. Then, a small voice, barely a whisper, broke through. “Doctor, sir,” said Bala Bhargavi, her eyes fixed on her desk. Emboldened, another student, Bhuvana Sindhu, lifted her head and said, a little louder, “Engineer.” A delicate thread of connection was being woven in the quiet room.

The thread grew stronger. “Police officer,” said Chandana Priya Niharika, her voice hesitant but clear. Then, Deepika sat up straighter, a note of confidence in her voice. “Businesswoman.” For the first time in a long time, a genuine smile touched Rajarao’s lips. These weren’t just answers; they were sparks of hope in the darkness.

“Wonderful dreams!” Rajarao said, his voice thick with emotion. “But listen carefully… mathematics is the bridge you must cross to reach them. Without it, those dreams will remain far away.” He looked from one student to the next. “I am here not just to give you marks… I am here to guide you across that bridge.” For the first time, they saw him not just as a teacher, but as a guide.

In the days that followed, the classroom transformed. “Algebra is like cricket scores!” Rajarao boomed with newfound energy. “Fractions? Imagine dividing chocolates among friends! And geometry? It’s in the logos of your favorite brands!” He wasn’t just teaching math; he was revealing its presence in their world.

The students began to lean forward. The silence of apathy was replaced by the buzz of curiosity. “Sir, can you explain that step again? I almost got it!” Bhuvana Sindhu asked. A few moments later, Chandana Priya Niharika shot up from her seat. “Sir, I solved the puzzle! For the first time, I got it right!” she exclaimed, her face alight with triumph.

The spark was contagious. Rajarao saw Deepika patiently showing a friend how to solve a problem. “Don’t worry,” she said, “if I can understand it, you can too.” He noticed Bala Bhargavi smiling to herself as she worked, the equations no longer a source of fear, but of fascination. He stood back and watched, a quiet, profound pride swelling in his chest.

Rajarao had thought he had failed. But now he saw, teaching wasn’t about forcing knowledge; it was about igniting curiosity. He saw the spark in Bala Bhargavi, in Bhuvana Sindhu, in Chandana Priya Niharika, and in Deepika. He knew, with a certainty that warmed his soul, that tomorrow, it would spread. Marks measure performance, but not potential. A teacher’s true success is when students discover their own spark of learning