వాస్తవ సంఖ్యలు
సంఖ్యాధర్మాలను కనుగొనడంలో యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి యొక్క అనువర్తనాలు చాలా ఉన్నాయి.
వాటిలో కొన్ని పరిశీలిద్దాం.
ఉదాహరణ-1 :
q ఏదైనా ఒక పూర్ణసంఖ్య అయినప్పుడు, ప్రతి ధన సరి పూర్ణ సంఖ్య 2q రూపంలో మరియు ప్రతి ధన బేసి పూర్ణ సంఖ్య 2q+ 1 రూపంలో ఉంటుందని చూపుము.
సాధన :
a ఏదైనా ధన పూర్ణ సంఖ్య, b = 2 అనుకొనుము.
యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధిని అనుసరించి
a= 2q + r",
ఏదైనా పూర్ణ సంఖ్య q≥0 కు మరియు r = 0 లేదా r= 1 అవుతుంది.
ఎందుకనగా 0≤r<2.
కాబట్టి, a= 2q లేదా 2q+ 1 అవుతుంది.
a అనేది 2q రూపంలో ఉంటే అది సరిపూర్ణ సంఖ్య అవుతుంది.
ఇంకా ఏదైనా ధనపూర్ణ సంఖ్య సరి లేదా బేసి సంఖ్య అవుతుంది.
a అనేది సరిపూర్ణ సంఖ్య కానియెడల అది బేసి పూర్ణసంఖ్య అయ్యే అవకాశం ఉంటుంది మరియు అది 2q+ 1 రూపంలో ఉంటుంది.
ఉదాహరణ-2 :
q ఏదైనా ఒక పూర్ణ సంఖ్య అయినప్పుడు, ప్రతి ధనబేసి సంఖ్య 4q + 1 లేదా 4q + 3 రూపంలో ఉంటుందని చూపుము.
సాధన :
a ఏదైనా ఒక ధన బేసి పూర్ణ సంఖ్య అనుకొందాం. భాగహార శేష విధిని a మరియు b = 4 పై అనువర్తింప చేయగా
0≤r<4, కావున శేషంను 0, 1, 2 మరియు 3 అవుతాయి.
వీటి ఆధారంగా a యొక్క విలువలు
4q లేదా 4q+ 1 లేదా 4q+ 2 లేదా 4q+ 3 (q భాగఫలానికి) కావచ్చు.
4q లేదా 4q + 2 లు 2 చే నిశ్శేషంగా భాగించబడతాయి.
కావున అవి బేసి సంఖ్యలు అయ్యే అవకాశం లేదు.
అందువల్ల బేసి సంఖ్య a యొక్క రూపం 4q+ 1 or 4q + 3 అవుతుంది.
అభ్యాసం - 1.1
1.యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి ఆధారంగా క్రింది జతల గ.సా.భాను కనుగొనండి.
(i) 900 మరియు 270
(ii) 196 మరియు 38220
(iii) 1651 మరియు 2032
సాధన :
i) 900 > 270
a=900 and b=270
యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి a=bq+r, 0≤ r < b
👉900 = 270 x 3 + 90
b 270) 900 ( 3 q
- 810
---------
90 r
-----------
👉 270 = 90 x 3 + 0
b 90) 270 ( 3 q
-270
---------
0 r
-----------
∴ 900, 270 ల గ.సా.భా = 90
ii) 38220 > 196
a=38220 and b=196
యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి a=bq+r, 0≤ r < b b 196 ) 38220 (195 q
- 196
-----------
1862
-1764
-----------
980
- 980
---- - - - -
0 శేషం
38220=196 x 195 +0
∴ 196, 38220 ల గ.సా.భా = 196
iii)
i) 2032 > 1651
a=2032 and b=1651
యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి a=bq+r, 0≤ r < b
👉 2032 = 1651 x 1 + 381
b 1651) 2032 ( 1 q
- 1651
---------
381 r
-----------
👉 1651 = 381 x 4 + 127
b 381 ) 1651 ( 4 q
-1524
---------
127 r
-----------
👉 381 = 127 x 3 + 0
b 127 ) 381 ( 3 q
-381
---------
0 r
-----------
∴2032,1651 ల గ.సా.భా = 381
2.q ఏదైనా ఒక పూర్ణ సంఖ్య అయినప్పుడు ప్రతి ధన బేసి పూర్ణ సంఖ్య 6q + 1 లేదా 6q + 3 లేదా 6q+ 5 రూపంలో ఉంటుందని చూపుము. ?
సాధన :
say a = ధన బేసిసంఖ్య
b = 6
యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి a=bq+r, 0 ≤ r < b
i.e. a = 6q + r , 0 ≤ r < 6
∴ r > 0 కావున r=0,1,2,3,4,5
∴ If r=0 అయితే a = 6q+ 0
a= 6q
= 2 x 3q
= 2n (∵ n=3q )
∴ a= సరిసంఖ్య కావున 6q ఒక సరిసంఖ్య
If r=1 అయితే a = 6q+ 1
a= 2x 3q +1
= 2n + 1 (∵ n=3q )
a = 2n +1
a = బేసిసంఖ్య కావున న 6q+1 ఒక బేసిసంఖ్య
∴ If r=2 అయితే a = 6q+ 2
a= 2(3q +1)
= 2n (∵ n=3q+1 )
a = సరిసంఖ్య,( సరిసంఖ్య సాధారణ రూపం 2n)
a = 6q+2 సరిసంఖ్య
∴ If r=3 అయితే a = 6q+ 3
a= 2x 3q +2+1
= 2(3q+1)+1 (∵ n=3q )
a = 2n +1 ( ∵ n=3q +1)
a = బేసిసంఖ్య
కావున 6q+3 ఒక బేసిసంఖ్య
∴ If r=4 అయితే a = 6q+ 4
a= 2(3q +2)
= 2n (∵ n=3q+2)
a = సరిసంఖ్య,
( సరిసంఖ్య సాధారణ రూపం 2n)
a = 6q+4 సరిసంఖ్య
∴ If r=5 అయితే a = 6q+ 5
a= 2x 3q +4+1
= 2(3q+2)+1
a = 2n +1 ( ∵ n=3q +2)
a = బేసిసంఖ్య
కావున 6q+5 ఒక బేసిసంఖ్య
∴ q ఏదైనా ఒక పూర్ణ సంఖ్య అయినప్పుడు ప్రతి ధన బేసి పూర్ణ సంఖ్య 6q + 1 లేదా 6q + 3 లేదా 6q+ 5 రూపంలో ఉంటుంది.
3. ఏదైనా ధనపూర్ణ సంఖ్య యొక్క వర్గం 3p లేదా 3p + 1 రూపంలో ఉంటుందని యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి ఆధారంగా చూపుము.?
say a = ధన బేసిసంఖ్య
b = 3
యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి a=bq+r, 0 ≤ r < b
i.e. a = 3q + r , 0 ≤ r < 3
∴ r > 0 కావున r=0,1,2
∴ If r=0 అయితే a = 3q+ 0
a= 3q
(a)²= (3q)²
a²= 9q²
a²=3x3q²
a²=3xp(∵ n=3q² )
a²=3p
∴ a=3q కావున దాని వర్గం a²=3p
If r=1 అయితే a = 3q+ 1
(a)²= (3q +1) ²
=( 3q)²+2x3qx1+1²
a² = 9q²+6q+1
a² = 3(3q²+2q)+1
a²=3p+1(∵ n=3q²+2q)
4.ఏదైనా ధనపూర్ణ సంఖ్య యొక్క ఘనం 9 m లేదా 9m + 1 లేదా 9m + 8 రూపంలో ఉంటుందని చూపుము.?
say a = ధన బేసిసంఖ్య
b = 9
యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి a=bq+r, 0 ≤ r < b
i.e. a = 9q + r , 0 ≤ r < 9
∴ r > 0 కావున r=0,1,2,3,4,5,6,7,8
∴ If r=0 అయితే a = 9q+ 0
a= 9q
(a)³= (9q)³
a³= 9³xq³
a³=9x9xq³
a³=9x81q³
a³=9xm(∵ n=81q³)
a³=9m
∴ a=9q కావున దాని ఘనo a³=9m
If r=1 అయితే a = 9q+ 1
(a)³= (9q +1)³
=(9q)³+3x(9q)²x1+3x9qx1²+1³
(a+b) ³=a³+3a²b+3ab²+b³
a³ = 9x9x9q³+3x9x9q²+3x9q+1
a³= 9(81q³+27q²+3q)+1
a³=9m+1(∵ n=81q³+27q²+3q)
If r=2 అయితే a = 9q+ 2
(a)³= (9q +2)³
=(9q)³+3x(9q)²x2+3x9qx2²+2³
a³ = 9x9x9q³+6x9x9q²+3x9qx4+8
a³= 9(81q³+54q²+12q)+8
a³=9m+8(∵ n=81q³+54q²+12q)
If r=3 అయితే a = 9q+ 3
(a)³= (9q +3)³ =(9q)³+3x(9q)²x3+3x9qx3²+3³a³ =9x9x9q³+9x9x9q²+3x9qx9+27 a³= 9(81q³+81q²+27q+3)a³=9m(∵ n=81q³+54q²+12q)
(a)³= (9q +3)³
=(9q)³+3x(9q)²x3+3x9qx3²+3³
a³ =9x9x9q³+9x9x9q²+3x9qx9+27
a³= 9(81q³+81q²+27q+3)
a³=9m(∵ n=81q³+54q²+12q)
5. ఏదైనా ధనపూర్ణ సంఖ్య nకు n, n+ 2 లేదా n + 4లలో ఏదైనా ఒకటి మాత్రమే 3 చే భాగింపబడుతుందని చూపుము.?
Tags
REALNUMBERS