సిద్ధాంతం-1.1 :
😎యూక్లిడ్ భాగాహార న్యాయం (Euclid's division lemma) :
a=bq+r, 0≤ r < b అయ్యే విధంగా a మరియు b ల జతకు అనుగుణంగా q మరియు rలు ఏకైక పూర్ణసంఖ్యలు వ్యవస్థితం అవుతాయి.
పై ఫలితం చాలా కాలంగా అందరికి తెలిసినప్పటికీ
యూక్లిడ్ పుస్తకాల సంకలనంలోని 7వ పుస్తకంలో మొట్టమొదటగా నమోదు చేయబడినది.
యూక్లిడ్ అలెగ్జాండ్రియా రాజు విశ్వవిద్యాలయంలో గణిత బోధకుడిగా పనిచేశాడు.
యూక్లిడను "Father of Geometry" పిలుస్తారు.
ఇతను అందుబాటులోని గణితాంశాలన్నింటిని సేకరించి, నిర్వచనాలు, స్వీకృతాలు, సిద్ధాంతాలుగా వర్గీకరించి చరిత్ర ప్రసిద్ధి పొందిన గ్రంథం "ఎలిమెంట్స్"ను రచించాడు. ప్రపంచంలో బైబిల్ తర్వాత అత్యధికంగా అమ్ముడు పోయిన గ్రంథం ఇదే.
యూక్లిడ్ అల్గారిథమ్, సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు, ఒకటి కన్నా పెద్దదైన ఏ పూర్ణ సంఖ్యనైనా ప్రధాన సంఖ్యల లబ్దంగా ఏకైకం రాయవచ్చు. కరణీయ సంఖ్యలు మొదలగునవి ఎలిమెంట్స్ గ్రంథంలోనివే. ఈనాటికీ పాఠశాలల్లో గణితంగా బోధిస్తున్న దానిలో అధిక భాగం “ఎలిమెంట్స్" ను అనుసరించేవే.
పై భాగాహార న్యాయం పైనే యూక్లిడ్ భాగాహార శేష విధి ఆధారపడి ఉంది.
ఇక యూక్లిడ్ భాగాహార న్యాయంను ఉపయోగిద్దాం.
ఇవ్వబడిన రెండు పూర్ణ సంఖ్యల యొక్క గరిష్ట సామాన్య భాజకం (గ.సా.భా.) ను కనుక్కోవడానికి యూక్లిడ్ భాగాహార న్యాయాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.
రెండు ధనపూర్ణ సంఖ్యలు a, b ల సామాన్య కారణాంకాలు అన్నింటిలోకి అతి పెద్ద కారణాంకం d వాటి గ.సా.భా అవుతుందని జ్ఞప్తికి తెచ్చుకోండి.
💢ఉదాహరణ:60 మరియు 100 ల గ.సా.భా కనుగొనుము?
👉సాధన:
60 లీ. మరియు 100 లీ. సామర్ధ్యం గల రెండు పాల క్యాన్లు పూర్తిగా పాలతో నిండి ఉన్నాయనుకుందాం. ఈ రెండు కార్లలోని పాలను ఏమీ మిగలకుండా పూర్తిగా కొలవడానికి ఉపయోగించగల పాత్ర యొక్క గరిష్ట సామర్థ్యం ఎంత ఉండాలి?
దీనిని కనుగొనడానికి ఈ క్రింది విధానాన్ని ఊహిద్దాం.
- ఒక వేళ 60 లీ. కొలపాత్రతో పూర్తిగా పాలతో నిండి ఉన్న 100 లీ. క్యాలోని పాలను కొలవగా ఇంకా 40 లీ. పాలు క్యాన్లో మిగిలి ఉంటాయి. కాబట్టి 60 లీ. కొలపాత్రతో రెండింటిని పూర్తిగా కొలవలేము.
- X ఒక వేళ 40 లీ. కొలపాత్రతో పూర్తిగా పాలతో నిండి ఉన్న 100 లీ. మరియు 60 లీ. క్యాన్లలోని పాలను కొలవగా ఒక్కొక్కదానిలో 20 లీ. పాలు మిగిలి ఉంటాయి. కాబట్టి 40 లీ. కొలపాత్రతో రెండింటిని పూర్తిగా కొలవలేము.
- 20 లీ. కొలపాత్రతో ఆ రెండు క్యాన్లలోని పాలు ఏమీ మిగలకుండా పూర్తిగా కొలవగలమా?
✏100 ను 60 చే భాగించగా శేషం 40 వస్తుంది. దీనిని
- 100 = 60 x 1 + 40 గా రాయవచ్చు.
✏పై దానిలోని భాజకం 60 మరియు శేషం 40 పై యూక్లిడ్ భాగాహార న్యాయాన్ని అనువర్తింపజేయగా దానిని
- 60 = 40 × 1 + 20 గా రాయవచ్చు.
✏పై దానిలోని భాజకం 40 మరియు శేషం 20 యూక్లిడ్ భాగాహార న్యాయాన్ని అనువర్తింపజేయగా దానిని
- 40 = 20 X 2+ 0 గా రాయవచ్చు.
పై దానిలో శేషం 0 వచ్చింది.
అలాగే ఇంకా ఈ సాధనను ముందుకు కొనసాగించలేమని గమనించారా?
పై చివరి సోపానంలోని భాజకమైన 20 అనేది సంఖ్యలు 60 మరియు 100 లను నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది. మరియు వాటి గ.సా.భా. 20 అని చెబుతాం.
60 మరియు 100 లకు కారణాంకాలు అన్నింటిని రాసి దీనిని సులభంగా సరిచూడవచ్చు.
💥60 మరియు 100 ల గ.సా.భాను కనుగొనడానికి యూక్లిడ్ భాగాహార న్యాయాన్ని ఇంతకుముందటి కృత్యానికి అన్వయిద్దాం.
సాధన :
100 ను 60 చే భాగించగా శేషం 40 వస్తుంది. దీనిని
- 100 = 60 x 1 + 40 గా రాయవచ్చు.
పై దానిలోని భాజకం 60 మరియు శేషం 40 పై యూక్లిడ్ భాగాహార న్యాయాన్ని అనువర్తింపజేయగా దానిని
- 60 = 40 × 1 + 20 గా రాయవచ్చు.
పై దానిలోని భాజకం 40 మరియు శేషం 20 యూక్లిడ్ భాగాహార న్యాయాన్ని అనువర్తింపజేయగా దానిని
- 40 = 20 X 2+ 0 గా రాయవచ్చు.
పై దానిలో శేషం 0 వచ్చింది.
అలాగే ఇంకా ఈ సాధనను ముందుకు కొనసాగించలేమని గమనించారా?
పై చివరి సోపానంలోని భాజకమైన 20 అనేది సంఖ్యలు 60 మరియు 100 లను నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది. మరియు వాటి గ.సా.భా. 20 అని చెబుతాం.
60 మరియు 100 లకు కారణాంకాలు అన్నింటిని రాసి దీనిని సులభంగా సరిచూడవచ్చు.
💢ఇవి చేయండి
యూక్లిడ్ భాగాహార న్యాయాన్ని ఉపయోగించి క్రింది వాటి యొక్క గ.సా.భాను కనుగొనుము.
(i) 50మరియు 70
సాధన :
70 > 50
a = 70 b = 50
యూక్లిడ్ భాగాహార న్యాయo a = bq+r, 0≤ r < b
👉70 = 50 x 1 + 20
b 50) 70 ( 1 q
-50
---------
20 r
-----------
👉 50 = 20 x 2 + 10
b 20) 50 ( 2 q
-40
---------
10 r
-----------
👉 20=10 x 2 + 0
b 10) 20 ( 2 q
-20
---------
0 r
-----------
∴ 50, 70 ల గ.సా.భా = 10
(ii) 96 మరియు 72
96 > 72
a = 96 b = 72
యూక్లిడ్ భాగాహార న్యాయo a = bq+r, 0≤ r < b
👉96 = 72 x 1 + 24
b 72) 96 ( 1 q
-72
---------
24 r
-----------
👉 72 = 24 x 3 + 0
b 24) 72 ( 3 q
-72
---------
0 r
-----------
∴ 96, 72 ల గ.సా.భా = 24
(iii) 300మరియు 550
సాధన :
550> 300
a =550 b = 300
యూక్లిడ్ భాగాహార న్యాయo a = bq+r, 0≤ r < b
👉550 = 300 x 1 + 250
b 300) 550 ( 1 q
-300
---------
250 r
-----------
👉 300 = 250 x 1 + 50
b 250) 300 ( 1 q
-250
---------
50 r
-----------
👉 250=50 x 5 + 0
b 50) 250 ( 5 q
-250
---------
0 r
-----------
∴ 300, 550 ల గ.సా.భా = 24
(iv) 1860మరియు 2015
2015 >1860
a =2015 b=1860
యూక్లిడ్ భాగాహార న్యాయo a = bq+r, 0≤ r < b
👉2015 = 1860 x 1 + 155
b 1860 ) 2015 ( 1 q
-1860
---------
155 r
-----------
👉 1860 = 155 x 12 + 0
b 155 ) 1860 ( 1 q
-1860
---------
0 r
-----------
∴ 2015, 1860 ల గ.సా.భా = 155
💢ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి
1.2 మరియు 0.12ల గ.సా.భాను మీరు కనుగొనగలరా? మీ జవాబును సమర్థించండి.
సాధన :
1.2 > 0.12
a=1.2 b=0.12
యూక్లిడ్ భాగహార న్యాయం కేవలం పెద్దసంఖ్యల గ.సా.భాను కనుగొనడానికి మాత్రమే కాకుండా కంప్యూటర్ ప్రోగ్రామింగ్ కోసం ప్రారంభంలో వాడబడిన అల్గారిథమ్ లో ఒక అల్ గారిథమ్ గా ప్రముఖంగా వాడబడినది. గమనించదగిన అంశాలు:
యూక్లిడ్ భాగహార న్యాయం మరియు భాగహార శేష విధి రెండు ఒకదానికొకటి పరస్పరం అంతర్గతంగా
ముడిపడి ఉన్నందున భాగహార న్యాయాన్ని, యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధిగా కూడా పరిగణిస్తాం. 2. యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి కేవలం ధనపూర్ణ సంఖ్యల పైనే నిర్వచింపబడినా, దానిని అన్ని శూన్యేతర పూర్ణ
సంఖ్యల (అనగా a మరియు b = 0) కు అనువర్తింపజేయవచ్చు. కాని ఈ విషయాన్ని ఇక్కడ చర్చించము.
.jpg)
