యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి యొక్క అనువర్తనాలు -వాస్తవ సంఖ్యలు- 10 వ తరగతి

వాస్తవ సంఖ్యలు

సంఖ్యాధర్మాలను కనుగొనడంలో యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి యొక్క అనువర్తనాలు చాలా ఉన్నాయి. 

వాటిలో కొన్ని పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ-1 :

q ఏదైనా ఒక పూర్ణసంఖ్య అయినప్పుడు, ప్రతి ధన సరి పూర్ణ సంఖ్య 2q రూపంలో మరియు ప్రతి ధన బేసి పూర్ణ సంఖ్య 2q+ 1 రూపంలో ఉంటుందని చూపుము.

 సాధన : 

a ఏదైనా ధన పూర్ణ సంఖ్య, b = 2 అనుకొనుము. 

యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధిని అనుసరించి 

a= 2q + r", 

ఏదైనా పూర్ణ సంఖ్య q≥0 కు మరియు r = 0 లేదా r= 1 అవుతుంది. 

ఎందుకనగా 0≤r<2. 

కాబట్టి, a= 2q లేదా 2q+ 1 అవుతుంది.

a అనేది 2q రూపంలో ఉంటే అది సరిపూర్ణ సంఖ్య అవుతుంది. 

ఇంకా ఏదైనా ధనపూర్ణ సంఖ్య సరి లేదా బేసి సంఖ్య అవుతుంది. 

a అనేది సరిపూర్ణ సంఖ్య కానియెడల అది బేసి పూర్ణసంఖ్య అయ్యే అవకాశం ఉంటుంది మరియు అది 2q+ 1 రూపంలో ఉంటుంది. 

ఉదాహరణ-2 :

q ఏదైనా ఒక పూర్ణ సంఖ్య అయినప్పుడు, ప్రతి ధనబేసి సంఖ్య 4q + 1 లేదా 4q + 3 రూపంలో ఉంటుందని చూపుము. 

సాధన : 

a ఏదైనా ఒక ధన బేసి పూర్ణ సంఖ్య అనుకొందాం. భాగహార శేష విధిని a మరియు b = 4 పై అనువర్తింప చేయగా

0≤r<4, కావున శేషంను 0, 1, 2 మరియు 3 అవుతాయి.

వీటి ఆధారంగా a యొక్క విలువలు 

4q లేదా 4q+ 1 లేదా 4q+ 2 లేదా 4q+ 3 (q భాగఫలానికి) కావచ్చు. 

4q లేదా 4q + 2 లు 2 చే నిశ్శేషంగా భాగించబడతాయి. 

కావున అవి బేసి సంఖ్యలు అయ్యే అవకాశం లేదు. 

అందువల్ల బేసి సంఖ్య a యొక్క రూపం 4q+ 1 or 4q + 3 అవుతుంది.

అభ్యాసం - 1.1

1.యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి ఆధారంగా క్రింది జతల గ.సా.భాను కనుగొనండి. 

(i) 900 మరియు 270 

(ii) 196 మరియు 38220 

(iii) 1651 మరియు 2032

సాధన :

i)                                   900 > 270

              

                                a=900 and  b=270

యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి  a=bq+r, 0≤ r < b 

                                           👉900 = 270 x 3 + 90    

                                                                                                                 b    270) 900 ( 3 q

                                                                                                                             - 810

                                                                                                                          ---------

                                                                                                                                90   r

                                                                                                                          -----------

             

                                                      

                                               👉        270 = 90 x 3 + 0                                 

                                                                                                                   b   90) 270 ( 3  q

                                                                                                                             -270

                                                                                                                          ---------

                                                                                                                                0   r

                                                                                                                          -----------

∴   900, 270 ల గ.సా.భా = 90

ii)                            38220 > 196

                               a=38220 and b=196

యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి  a=bq+r, 0≤ r < b                                       b   196 ) 38220 (195   q

                                                                                                                           -  196

                                                                                                                         -----------

                                                                                                                              1862

                                                                                                                             -1764

                                                                                                                            -----------

                                                                                                                                 980

                                                                                             -    980

                                                                                          ----   - - - -

                                                                                                                   0    శేషం 

                     

                                   38220=196 x 195 +0

∴   196, 38220 ల గ.సా.భా = 196

iii)       

i)                                   2032 > 1651

              

                                a=2032 and  b=1651

యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి  a=bq+r, 0≤ r < b 

                                           👉 2032 = 1651 x 1 + 381    

                                                                                                                 b    1651) 2032 ( 1 q

                                                                                                                             -    1651

                                                                                                                          ---------

                                                                                                                                381  r

                                                                                                                          -----------

             

                                                      

                                               👉        1651 = 381 x 4 + 127                                 

                                                                                                                   b   381 ) 1651 ( 4  q

                                                                                                                             -1524

                                                                                                                          ---------

                                                                                                                                127 r

                                                                                                                          -----------

  👉        381 = 127 x 3 + 0                                 

                                                                                                                   b   127 ) 381 ( 3  q

                                                                                                                             -381

                                                                                                                          ---------

                                                                                                                                0 r

                                                                                                                          -----------

∴2032,1651 ల గ.సా.భా = 381

2.q ఏదైనా ఒక పూర్ణ సంఖ్య అయినప్పుడు ప్రతి ధన బేసి పూర్ణ సంఖ్య 6q + 1 లేదా 6q + 3 లేదా 6q+ 5 రూపంలో ఉంటుందని చూపుము. ?

సాధన :

           say        a = ధన బేసిసంఖ్య 

                        b = 6

 

యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి   a=bq+r, 0 ≤  r <  b 

i.e.    a = 6q + r     , 0 ≤  r <  6

∴ r > 0 కావున r=0,1,2,3,4,5

∴ If r=0 అయితే  a = 6q+ 0

                                     a= 6q

                                        = 2 x 3q

                                       = 2n      (∵ n=3q )

                                 

                           ∴ a= సరిసంఖ్య   కావున 6q ఒక సరిసంఖ్య  

If r=1 అయితే  a = 6q+ 1

                                     a= 2x 3q +1

                                        = 2n + 1  (∵ n=3q )

                                     a  = 2n +1     

                                     a = బేసిసంఖ్య  కావున న 6q+1 ఒక బేసిసంఖ్య 

∴ If r=2 అయితే  a = 6q+ 2

                                     a= 2(3q +1)

                                        = 2n (∵ n=3q+1 )

                                     a  =  సరిసంఖ్య,( సరిసంఖ్య సాధారణ రూపం 2n)

                                     a = 6q+2 సరిసంఖ్య

∴ If r=3 అయితే  a = 6q+ 3

                                     a= 2x 3q +2+1

                                        = 2(3q+1)+1  (∵ n=3q )

                                     a  = 2n +1  ( ∵ n=3q +1)

                                     a = బేసిసంఖ్య  

                    కావున  6q+3 ఒక బేసిసంఖ్య 

∴ If r=4 అయితే  a = 6q+ 4

                                     a= 2(3q +2)

                                        = 2n (∵ n=3q+2)

                                     a  =  సరిసంఖ్య,

( సరిసంఖ్య సాధారణ రూపం 2n)

                                     a = 6q+4 సరిసంఖ్య

∴ If r=5 అయితే  a = 6q+ 5

                                     a= 2x 3q +4+1

                                        = 2(3q+2)+1 

                                     a  = 2n +1  ( ∵ n=3q +2)

                                     a = బేసిసంఖ్య  

                    కావున  6q+5 ఒక బేసిసంఖ్య 

                 

∴   q ఏదైనా ఒక పూర్ణ సంఖ్య అయినప్పుడు ప్రతి ధన బేసి పూర్ణ సంఖ్య 6q + 1 లేదా 6q + 3 లేదా 6q+ 5 రూపంలో ఉంటుంది.

              

3.    ఏదైనా ధనపూర్ణ సంఖ్య యొక్క వర్గం 3p లేదా 3p + 1 రూపంలో ఉంటుందని యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి ఆధారంగా చూపుము.?

say        a = ధన బేసిసంఖ్య 

                        b = 3

 

యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి   a=bq+r, 0 ≤  r <  b 

i.e.    a = 3q + r     , 0 ≤  r < 3

∴ r > 0 కావున r=0,1,2

∴ If r=0 అయితే  a = 3q+ 0

                                     a= 3q

                                   (a)²= (3q)²

                                       a²= 9q²

a²=3x3q²

a²=3xp(∵ n=3q² )

a²=3p

 ∴ a=3q కావున దాని వర్గం a²=3p

If r=1 అయితే  a = 3q+ 1

                                   (a)²= (3q +1) ²

                                        =( 3q)²+2x3qx1+1²

                                     a²  = 9q²+6q+1     

                                     a² = 3(3q²+2q)+1

a²=3p+1(∵ n=3q²+2q)

4.ఏదైనా ధనపూర్ణ సంఖ్య యొక్క ఘనం 9 m లేదా 9m + 1 లేదా 9m + 8 రూపంలో ఉంటుందని చూపుము.?

say        a = ధన బేసిసంఖ్య 

                        b = 9

 

యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి   a=bq+r, 0 ≤  r <  b 

i.e.    a = 9q + r     , 0 ≤  r < 9

∴ r > 0 కావున r=0,1,2,3,4,5,6,7,8

∴ If r=0 అయితే  a = 9q+ 0

                                     a= 9q

                                   (a)³= (9q)³

                                       a³= 9³xq³

a³=9x9xq³ 

a³=9x81q³

a³=9xm(∵ n=81q³)

a³=9m

 ∴ a=9q కావున దాని ఘనo a³=9m

If r=1 అయితే  a = 9q+ 1

               (a)³= (9q +1)³

                     =(9q)³+3x(9q)²x1+3x9qx1²+1³

(a+b) ³=a³+3a²b+3ab²+b³

              a³  = 9x9x9q³+3x9x9q²+3x9q+1     

              a³= 9(81q³+27q²+3q)+1

a³=9m+1(∵ n=81q³+27q²+3q)

If r=2 అయితే  a = 9q+ 2

               (a)³= (9q +2)³

                     =(9q)³+3x(9q)²x2+3x9qx2²+2³

              a³  = 9x9x9q³+6x9x9q²+3x9qx4+8     

              a³= 9(81q³+54q²+12q)+8

a³=9m+8(∵ n=81q³+54q²+12q)

If r=3 అయితే  a = 9q+ 3

 (a)³= (9q +3)³

      =(9q)³+3x(9q)²x3+3x9qx3²+3³

a³  =9x9x9q³+9x9x9q²+3x9qx9+27  

  a³= 9(81q³+81q²+27q+3)

a³=9m(∵ n=81q³+54q²+12q)

5. ఏదైనా ధనపూర్ణ సంఖ్య nకు n, n+ 2 లేదా n + 4లలో ఏదైనా ఒకటి మాత్రమే 3 చే భాగింపబడుతుందని చూపుము.? 

1.2 ప్రాథమిక అంకగణిత సిద్ధాంతము-10వ తరగతి గణితం

1.2 ప్రాథమిక అంకగణిత సిద్ధాంతము

యూక్లిడ్ భాగహార న్యాయం ప్రకారం 

"a=bq + q",  0≤r<b అయ్యే విధంగా ధన పూర్ణ సంఖ్యలు a మరియు b ల జతకు అనుగుణంగా q మరియు r లు ఏకైక పూర్ణ సంఖ్యలు వ్యవస్థితమవుతాయి” అని మనకు తెలుసు.

🍠ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి. 

యూక్లిడ్ భాగహార న్యాయంలోని a = bq + r లో r=0 అయిన a, b మరియు q మధ్య సంబంధమేమిటి?

సాధన:

a=bq+r

a=bq+0

a=bq

i.e. a=b x q

కావున b మరియు q లు a యొక్క కారణాంకాలు 

కనుక 'a' అనేది 'b' చే నిశ్శేషంగా భాగించబడితే 'b' ని 'a' కు కారణాంకంఅంటారు .

ఉదాహరణకు :  24 = 2 x 12

24 = 8 X3

24= 2 X 2 x 2 X 3

24=2x12 అయితే 2 మరియు 12 లను 24 యొక్క కారణాంకాలు అంటాం. 

ఇంకా ప్రధాన కారణాంకాలలబ్ధ రూపంలో దీనిని

24 = 2 x 2 x 2 x 3 గా కూడా రాయవచ్చని మనకు తెలుసు.

కొన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు 2, 3, 7, 11 మరియు 23 లను తీసుకుందాము. వీటిలో కొన్నింటిని లేదా అన్నింటిని తీసుకొని ఏ సంఖ్య ఎన్నిసార్లు అయిననూ గుణించడం ద్వారా మనం అతిపెద్ద పూర్ణసంఖ్యలను అపరిమితంగా రాబట్టవచ్చు. వీటిలో మనము కొన్నింటిని పరిశీలిద్దాము. 

2x3 X 11 = 66

7 x 11 = 77 

7x11 x 23 = 1771

3 x 7 x 11 x 23 = 5313 

2 x 3 x 7 x 11 x 23 = 10626

2³x 3 x 7³ = 8232 

2² x3 x 7 x 11 x 23 = 21252

ఇప్పుడు, మీరు తీసుకున్న ఒక ప్రధాన సంఖ్యల సమూహములో అవకాశం గల అన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు వున్నాయనుకుందాం. అటువంటి సమూహాన్ని మీరు ఊహించగలరా?

 ఈ సమూహంలో సంయుక్త సంఖ్యలు పరిమిత సంఖ్యలో వుంటాయా? లేదా అపరిమితంగా వుంటాయా? 

కాని సాధారణంగా మనకు అపరిమితంగా ప్రధానసంఖ్యలు వుంటాయి. 

అందుచే మనం అన్ని ప్రధాన సంఖ్యలను విభిన్న రీతులలో గుణిస్తూ పోతే మనకు అపరిమితంగా విభిన్న సంయుక్త సంఖ్యలు కూడా వస్తాయి. 

సిద్ధాంతము-1,2 : 

అంకగణిత ప్రాథమిక సిద్ధాంతము (Fundamental Theorem of Arithmetic) : 

                         ప్రతి సంయుక్త సంఖ్యను ప్రధానాంకముల లబ్దంగా రాయవచ్చును మరియు ప్రధాన కారణాంకాల క్రమం ఏదైనప్పటికీ ఈ కారణాంకాల లబ్దం ఏకైకము.

ఈ చర్చ ద్వారా మనము అంకగణిత ప్రాథమిక సిద్ధాంతము 

“ప్రతి సంయుక్త సంఖ్యను ప్రధానకారణాంక ముల లబ్దంగా” గా నిర్వచింపవచ్చును.

 దీనిని మరింత స్పష్టంగా చెప్పాలంటే ప్రధాన సంఖ్యల క్రమం ఏదైనప్పటికీ ప్రతి సంయుక్త సంఖ్యను ప్రధాన కారణాంకముల లబ్దంగా ఏకైకము (unique) గా రాయవచ్చును. 

ఉదాహరణకు మనము 210 సంఖ్యను కారణాంకములుగా రాసేటప్పుడు ప్రధానాంకాల క్రమము ఏదైనప్పటికీ దీనిని

210= 2 x 3 x 5 x 7 

లేదా 

210=3 x 5x1x2 

లేదా మరేవిధంగానైననూ లబ్దముగా రాయవచ్చును. అందుచే ఏ సంయుక్త సంఖ్యను అయిననూ ప్రధాన కారణాంకముల లబముగా ఒకేఒక విధంగా రాయవచ్చును. దీనిని మనం సిద్ధాంత పరంగా ఇప్పుడు నిర్వచిద్దాము. 

దీనిని, సాధారణంగా ఒక సంయుక్త సంఖ్య

 x ను x =p1, p2, .....అని రాయవచ్చు. 

దీనిలో P1, P2..... pn

అనేవి ఆరోహణ క్రమంలో రాయబడిన ప్రధానాంకాలు, అంటే p1≤p2p3≤........≤pn

ఈ సందర్భంలో ఒకే రకమైన ప్రధానాంకములు వాడినచో వాటిని ప్రధానాంకాల ఘాతాలుగా రాస్తాము.

ఉదాహరణ:

27300 = 2 X 2 X 3 X 5 X 5 x 7 X13 

= 2² X 3X 5² X 7 X 13

🍠ఇవి చేయండి

2310 ను ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దంగా రాయండి. ఈ సంఖ్యను నీ స్నేహితులు ఏవిధంగా కారణాంకాల లద్దంగా

రాసారో చూడండి. నీవు చేసినట్లుగానే వారు కూడా చేసారా ? చివరి ఫలితాన్ని, నీ స్నేహితుల ఫలితంతో సరిచూడుము. దీని కొరకు 3 లేదా 4 సంఖ్యలను తీసుకొని ప్రయత్నించుము. నీవు ఏమి గమనిస్తావు? 

సాధనం:

2310=2x1155

       =2x3x385

      =2x3x5x77

ఇక మనం ప్రాథమిక అంకగణిత సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగిద్దాం. 

ఉదాహరణ- 3. 

n ఒక సహజసంఖ్య గా గల సంఖ్య 4²తీసుకొండి. n యొక్క ఏ విలువకైనా 4²విలువ గల సంఖ్య 'సున్న' అంకెతో అంతమౌతుందో లేదో సరిచూడండి. 

సాధన : 

n సహజసంఖ్యగా గల సంఖ్య 4²విలువ గల సంఖ్య సున్నతో అంతం కావాలంటే అది '5' చే నిశ్శేషంగా భాగించబడాలి. 

అంటే 4²సంఖ్య యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దంలో 5 ఒక ప్రధాన సంఖ్యగా వుండాలి. 

కాని ఇది సాధ్యం కాదు. 

ఎందువలన అనగా 4²= 2⁴

అందుచే 4² యొక్క ప్రధానకారణాంకాల లబ్దంలో 5 లేనందున, n ఏ సహజ సంఖ్య విలువకైననూ 4²అనే సంఖ్య 'సున్న'తో అంతము కానేరదు.

మీరు ఇది వరకు రెండు ధనపూర్ణసంఖ్యలు గ.సా.కా (గరిష్ఠ సామాన్య కారణాంకం) మరియు క.సా.గు (కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం) ను అంకగణిత ప్రాథమిక సిద్ధాంతం ఉపయోగించి మనకు తెలియకుండానే కనుగొన్నాము.

ఈ పద్ధతినే మనము ప్రధానకారణాంకాల పద్ధతి (Prime factorization method) అంటాము. 

కింది ఉదాహరణ ద్వారా మనము ఈ పద్ధతిని ఒకసారి గుర్తుకు తెచ్చుకుందాము. 

ఉదాహరణ.4)

12 మరియు 18 ల యొక్క గ.సా.కా మరియు క.సా.గులను ప్రధాన కారణాంకాల పద్ధతిలో కనుగొనుము

సాధన : మనకు

12=2X 2 x 3 

   = 2²x 3¹

 18=2x3x3

      = 2¹ x 3² అగును

12, 18 ల గ.సా. కా = 2¹x 3¹ = 6

(సంఖ్యల యొక్క సామాన్య ప్రధాన కారణాంకముల

కనిష్ఠ ఘాతాల లబ్ధం) 

12, 18 ల క.సా.గు = 2² x 3² 

                         = 4x9

                         =36

(సంఖ్యల యొక్క ప్రధాన కారణాంకములలో ప్రతి దాని గరిష్ఠ ఘాతాల లబ్ధం) 

పై ఉదాహరణ నుండి, మీరు ఒక సంబంధము అంటే

(12, 18) ల గ.సా.5 X (12, 18) ల క.సా.గు = 12 x 18 లబ్ధం అయినదని మీరు గమనించే వుంటారు. 

అనగా రెండు ధనపూర్ణసంఖ్యలు a మరియు b, లు అయినచో వాటి 

గ.సా.కా(a,b) x క.సా.గు(a, b) = ax b అవుతుందని సరిచూడవచ్చును. 

దీనిని బట్టి రెండు ధనపూర్ణ సంఖ్యలు, వాటి గ.సా.కా తెలిసినప్పుడు ఆ సంఖ్యల క.సా.గును ఈ ఫలితం ఆధారంగా కనుగొనవచ్చును.

🍠ఇవి చేయండి

ఇవ్వబడిన సంఖ్యల జతల యొక్క క.సా.గు మరియు గ.సా.భా లను ప్రధాన కారణాంక పద్ధతి ఆధారంగా కనుగొనుము. 

(i) 120, 90 

(ii) 50, 60 

(iii) 37, 49

సాధన:

i)  120 = 2 x 60

           =2 x 2 x 30

           =2 x 2 x 2 x 15

            =2 x 2 x 2 x 3 x 5

   120    = 2³ x 3 x 5

90 = 2 x 45

=2x3x15

=2x3x3x5

90=2x3²x5

120 మరియు 90 ల గ. సా. భా =2x3x5=30

120 మరియు 90 ల క. సా. గు =2³x3²x5=360

ii) 

50=2x25

=2x5x5

50=2x5²

60=2x30

=2x2x15

=2x2x3x5

60=2²x3x5

50 మరియు 60 ల గ. సా. భా =2x5=10

50 మరియు 60 ల క. సా. గు =2²x3x5²=300

iii)

37=1x37

49=7x7

=1x7x7

49=1x7²

37 మరియు 49 ల గ సా భా =1 (37 మరియు 49 లు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు లేదా సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు) 

ప్రయత్నించండి

 'n' మరియు 'm'ఏవేని సహజ సంఖ్యలకు

 3² X 4² యొక్క ఫలిత సంఖ్య 0 లేదా 5 తో అంతం కాదని చూపుము.

సాధన:

అభ్యాసము - 1.2

1) కింది వానిలో ప్రతిసంఖ్యను ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దంగా రాయండి.

(i) 140 (i) 156 (iii) 3825 (iv) 5005

(V) 7429 

సాధన:

i)

140=2x70

      =2x2x35

      =2x2 x5x7

ii)

156=2×78

=2x2x39

=2x2x3x13

156=2²x3x13

iii) 3825 = 3x1275

=3x3x425

=3x3x5x85

=3x3x5x5x19

3825=3²x5²x19

iv)

5005=5x1001

=5x7x143

5005=5x7x11x13

iv)

7429=17x437

=17x19x23

     

2. కింది పూర్ణసంఖ్యల యొక్క క.సా.గు మరియు గ. సా.కా లను ప్రధాన కారణాంకాల లబ పద్ధతిలో కనుగొనండి.

(i) 12, 15 మరియు 21

సాధన :

12=2x6

=2x2x3

12=2²x3

15=3x5

21=3x7

12,15 మరియు 21 గ సా భా =

 (ii) 17, 23 మరియు 29 (iii) 8, 9 మరియు 25

(iv) 72 మరియు 108

(v) 306 మరియు 657

3. n ఒక సహజ సంఖ్య అయిన 6" సంఖ్య 'సున్న'తో అంతమగునో, కాదో సరిచూడండి. 

4. 7x 11 x 13 + 13 మరియు 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 + 5 ఏవిధంగా సంయుక్త సంఖ్యలగునో వివరించండి. 

5. (17 x 11 x 2) + (17 x 11 x 5) అనేది ఒక సంయుక్త సంఖ్య అని ఏవిధంగా నిరూపిస్తావు?

వివరించండి.

6. 6" యొక్క ఫలిత సంఖ్యలో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె ఏది?

సంఖ్యా వ్యవస్థ ( Number system 

సంఖ్యా వ్యవస్థ అనేది సంఖ్యలను వ్యక్తీకరించడానికి వ్రాసే వ్యవస్థ; 

అనగా, ఇచ్చిన సమితి సంఖ్యలను సూచించడానికి, అంకెలు లేదా ఇతర చిహ్నాలను స్థిరమైన పద్ధతిలో ఉపయోగించడం కోసం వాడే గణిత సంజ్ఞామానం..

అంకెలు Digits

🍠A digit is a single symbol used to make numerals. 

🍠0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 and 9   are the ten digits we use in everyday numerals.

significant digits - 1,2,3,4,5,6,7,8,9

insignificant digit - 0

సంఖ్యలు Numbers/ Numeral

💐a numeral is a symbol or name that stands for a number

Examples : 3, 49, and 6174 are all numerals.

So the number is an idea, the numeral is how we write it

 💐11,12,13,14,15,.............................
💐 1729  number
👉1,2,7,9  are the digits in the above number.

సంఖ్యామానం (Number system)

1) దశాంశ సంఖ్యామానం. (Decimal Number System)

2) ద్విసంఖ్యామానం. (Binary Number System)

💢 దశాంశ సంఖ్యామానం

ఈ పద్ధతిలో 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9 అను సంఖ్యలను ఉపయోగించెదరు. 

దీనిని ఆధారము 10 కలిగిన దశాంశ సంఖ్యాపద్ధతి (Numerical System) అని  కూడా అందురు)."Decima" అను పదము "Decem” అను లాటిన్ పదము నుండి వచ్చినది. 

"Decem” అనగా “పది” అని అర్థము.

గణిత శాస్త్రమును "విజ్ఞాన శాస్త్రము యొక్క రాణి” అని, సంఖ్యా శాస్త్రమును 

“గణిత శాస్త్రము యొక్క రాణి" అని అందురు.

Øదశాంశ సంఖ్య వ్యవస్థలో, దశాంశ బిందువు యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న స్థానాలు 

యూనిట్లు(ఒకట్లు ), పదుల, వందల, వేల ............. మొదలైనవి సూచిస్తాయి.

Øప్రతి స్థానం 10 యొక్క ప్రత్యేక  ఘాతమును  సూచిస్తుంది  

1234 =(1 x 1000)+ (2 x 100)+ (3 x 10)+ (4 x l)

       =(1 x 103)+ (2 x 102)+ (3 x 101)+ (4 x l00)

      =1000 + 200 + 30 + 4

      =1234 

💢ద్విసంఖ్యామానం

As a computer programmer or an IT professional, you should understand the following number systems which are frequently used in computers.

S.No.	Number System and Description
1	v         Binary Number System v       Base 2. Digits used : 0, 1
2	v            Octal Number System v          Base 8. Digits used : 0 to 7
	v           Hexa Decimal Number System v          Base 16. Digits used: 0 to 9, Letters      Øఇప్పటి వరకు కంప్యూటర్ తో మాట్లాడేందుకు ఒక భాష సమకూర్చుకున్నాం. Ø Øఇక కంప్యూటర్ కి ఆజ్ఞలు ఏ స్థాయి లో ఇవ్వాలి అనేది ఇప్పుడు చూద్దాం. Ø Øఈ ఈ సందర్భం లో నా చిన్నప్పటి ఒక వ్యాపార ప్రకటన గురించి ప్రస్తావించదలిచాను. "చిన్న మొత్తాల పొడుపు సంస్థ" కు సంబంధించిన ప్రకటన అందరికి గుర్తు ఉండే ఉంటుంది. "వేయి మైళ్ళ ప్రయాణమైనా ఒక్క అడుగుతో మొదలు పెడదాం..." అని. Ø Øఅదే విధంగా ఈ రోజు ప్రపంచాన్ని శాసిస్తున్న, మరియు మానవ సహితం కాని అనేక చిక్కు ముడులను విప్పుతున్న కంప్యూటర్ కూడా ఆ యొక్క అత్యంత క్లిష్టమైన సమస్యల పరిష్కారానికి శ్రీకారం ఒక చిన్న గణిత ప్రక్రియ తో మొదలు పెడుతుంది అదే "కూడిక"; Ø Øఅది కూడా ద్వి-సంఖ్యా మానం లో కూడిక. ఇది చాలా మందికి ఆశ్చర్యం కలిగించే విషయం అయినా నమ్మి తీరాల్సిన అక్షర సత్యం. Øమిగిలిన సంక్లిష్టమైన గణిత ప్రక్రియలన్నీ కూడా ఈ ఒక్క కూడిక ద్వారానే సాధించ వచ్చు అని ఒకటో తరగతిలో మన మాస్టారు చెప్పిన పాఠాన్ని ఒక్కసారి గుర్తు చేసుకుంటే చిక్కుముడి చాలా త్వరగా విడి పోతుంది.               Øఉదాహరణకు "తీసివేత" ను రెండవ సంఖ్య యొక్క గుర్తును + నుండి - కు మార్చి కూడటం ద్వారా సాధించ వచ్చు. అలాగే "గుణించుట" ను మళ్లీ మళ్లీ కూడటం ద్వారా సాధించవచ్చును. అలాగే "భాగహారం" ను మళ్లీ మళ్లీ తీసివేయటం ద్వారా సాధించవచ్చు. Øఈ విధంగా కంప్యూటర్ అత్యంత క్లిష్టమైన గణిత సమస్యలను కూడా"కూడిక" అనే అత్యంత సాధారణ గణిత ప్రక్రియ ద్వారా సాధించ గల్గుతుంది. Øద్వి-సంఖ్యా మానంలో కూడికల సంగతి ఇప్పుడు చూద్దాం. మనం సాధారణ దశాంశ మానం లో గమనించినట్లైతే మనకు ఉన్న పది అంకెలు 0-9 తర్వాత వచ్చే సంఖ్య పదుల స్థానంలో ఉన్న అంకె ఒకటి పెరిగి, ఒకట్ల స్థానంలో ఉన్న అంకె తిరిగి తన మొదటి విలువ 0 ను తీసుకుంటుంది. అనగా 10 అవుతుంది. అలాగే ద్విసంఖ్యా మానంలో కూడా 0, 1 తర్వాత వచ్చే సంఖ్య 10 అవుతుంది. అటు తదుపరి 11, 100, 101, 110, 111, ... వస్తాయి. 🙋ద్విసంఖ్యామానం    .సంఖ్యలను రాయడానికి ,సామాన్యంగా కింది ఇచ్చిన పది అంకెలను వాడుతాం . 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. ఈ పది అంకెలను వాడి సంఖ్యలను రాసే విధానాన్ని దసాంశమానం అంటాం  అని మనకు తెలుసు .దశాంశ మానంలో పది ఆధార(భూమి) సంఖ్య కనక దశాంశమానం పది ఆధారమైన విధానం .            గణన యంత్రాలు (కంప్యూటర్లు )  0,1 అనే అంకెలను మాత్రమే గణన కు ఉపయోగిస్తాము . ఈ విధానాన్ని ద్విసంఖ్యామానం ( అంకె 2 ఆధారంగా గల విధానం ) అంటారు. ఇందులో రెండు అంకెలను మాత్రమే వాడుతాం, కనక, ద్విసంఖ్యామానాన్ని ఉపయోగించి సంఖ్యలను రాయడం నేర్చుకుందాం. దశాంశమానంలో ఒకట్లు, పదులు, వందలు మొదలైన స్థానాలను ఉపయోగించినట్లే, రెండంకెలు ఆధారంగాగల విధానంలో, ఒకట్ల స్థానం, రెండ్ల స్థానం, నాలుగుల స్థానం, ఎనిమిదుల స్థానం మొదలైన స్థానాలను వాడుతాం. కింది పట్టిక ద్విసంఖ్యామానంలో స్థానవిలువలను సూచిస్తుంది. నూట ఇరవై ఎనిమిదుల స్థానం అరవైనాలుగుల స్థానం ముప్పై రెండ్ల స్థానం పదహార్ల స్థానం ఎనిమిదుల స్థానం నాలుగుల స్థానం రెండ్ల స్థానం ఒకట్ల స్థానం 128 64 16 8 2 1 2 26 25 24 23 22 21 20 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, మొదలైనవి ద్విసంఖ్యామానంలోని కొన్ని సంఖ్యలు.

సంఖ్యామానం Basic maths

సంఖ్యామానం Number system 

సహజ సంఖ్యలు Naturalnumbers

                        👉* వస్తువులను లెక్కించుటకు (count చేయుటకు) అవసరమయ్యే సంఖ్యలను 'సహజ సంఖ్యలు' అంటారు. 

వీటని N తోసూచిస్తారు.

                                                    

  N = {1, 2, 3, .........} 

పూర్ణాంకాలు Wholenumbers

👉★ గణిత అవసరాలను తీర్చుటకు సహజ సంఖ్య సమితి పూర్తి స్థాయిలో సరిపోవుటలేదనే విషయాన్ని గ్రహించుట ద్వారా “0” (సున్న) ను సహజ సంఖ్యా సమితికి చేర్చుట వల్ల నూతనంగా ఏర్పడే సంఖ్యా సమితిని పూర్ణాంకాలు అంటాం. 

దీనిని 'W' తో సూచిస్తాం. 

పూర్ణాంకాలు W = {0, 1, 2, 3, ............ } 

★ గణితశాస్త్రానికి “0” సున్నాను పరిచయం చేసినది మన భారతీయులే.

 

పూర్ణ సంఖ్యలుIntegers/Zahlennumbers

👉* సున్నా కంటే తక్కువ విలువ కలిగినవి ఋణపూర్ణాంకాలు.

 పూర్ణాంకాల సమితి (W) కు ఋణ పూర్ణాంకాలు చేర్చుట ద్వారా ఏర్పడిన సంఖ్యాసమితిని “పూర్ణ సంఖ్యలు” అంటాం. పూర్ణ సంఖ్యలను 'Z' తో సూచిస్తాం.

Z = {........ 4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ............} 

అకరణీయసంఖ్యలు(Rationalnumbers/Quotientnumbers)

* పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు, అంతమయ్యే దశాంశాలు, అంతంకాకపోయినా ఆవర్తనమయ్యే దశాంశాలు అన్నింటిని అకరణీయసంఖ్యలు అంటారు. 

ఈ అకరణీయ సంఖ్యా సమితిని 'Q' తో సూచిస్తాం. ఈ అకరణీయ సంఖ్యా సమితి పైన చెప్పిన అన్ని సంఖ్యాసమితులు (N, W, Z) కంటే కూడా పెద్ద సంఖ్యా సమితి. 

ఈ అకరణీయ సంఖ్యలను రూపంలో వ్రాయగలుగుతాము. 

p, q లనేవి 'Z' కు చెందిఉంటాయి.q#0అవ్వాలి.

P = {p/q    where p, q€Z and q≠0} 

కరణీయ సంఖ్యలు (Irrationalnumbers)

👉* అంతములేని, ఆవర్తనముకాని (దశాంశ రూపంలో గల) సంఖ్యలను కరణీయ సంఖ్యలు అంటాం. 

వీటిని Q' తోసూచిస్తాం. 

ఉదా: √2, √3, √5, √7,... 

        2.1415379179467712.......

       32.3218965479086521456.....

వాస్తవసంఖ్యలు(Realnumbers)

👉* కరణీయ సంఖ్యలు, అకరణీయ సంఖ్యలను కలిపి వ్రాయగా ఏర్పడే సంఖ్యాసమితిని వాస్తవసంఖ్యలు అంటాం.

దీనిని R తో సూచిస్తాం, R = QUQ'

 ప్రధాన సంఖ్యలు (Primenumbers): 

        1 మరియు అదే సంఖ్య మాత్రమే కారణాంకాలుగా గల 1 కన్నా పెద్దవైన సహజసంఖ్యలు.

ఉదా: 

2, 3, 5, 7, ప్రధాన సంఖ్య 

నిర్ధారణ పరీక్ష : 

       P ఒక సంఖ్య మరియు n² > p అయ్యేటట్లు ఉండే కనిష్ఠ సంఖ్య n అయిన n కన్నా చిన్నది లేదా సమానమైన ఏ ప్రధాన సంఖ్యతోను పై భాగింపబడకపోతే p ఒక ప్రధాన సంఖ్య అవుతుంది. 

ఉదా 1:  320

సాధన: 

18²> 320. 

18 కన్నా తక్కువైన ప్రధాన సంఖ్యలు 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17లలో ఏ సంఖ్యతోను 320 భాగింపబడదు. 

కావున 320  ప్రధాన సంఖ్య అవుతుంది. 

ఉదా 2:

253

16² > 252. 

16 కన్నా చిన్నవైన ప్రధాన సంఖ్యలలో ఒకటైన 11 తో 252 భాగింపబడుతుంది.

 252 ప్రధానసంఖ్య కాదు.

 సంయుక్త సంఖ్యలు : 

1 మరియు అదే సంఖ్యతో పాటు ఇతర సంఖ్యలతో కూడా భాగింపబడే సహజ సంఖ్యలు. 

లేదా 

మూడు లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ కారణాంకంలు కలిగిన సంఖ్యలను సంయుక్త సంఖ్యలు అంటారు. 

ఉదాహరణ:

4,6,8,.........

💐* యూక్లిడ్ భాగహార న్యాయము :

 a=bq+r, 0<r<b అయ్యే విధంగా a మరియు b ల జతకు అనుగుణంగా

q మరియు r లు ఏకైక పూర్ణసంఖ్యలు వ్యవస్థితం అవుతాయి. 

💐 అంకగణిత ప్రాథమిక సిద్ధాంతము : 

                       ప్రతి సంయుక్త సంఖ్యను ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధంగా రాయవచ్చును మరియు

ప్రధాన కారణాంకాల క్రమం ఏదైనప్పటికీ ఈ కారణాంకాల లబ్దము ఏకైకము. 

                           4=2x2

                           6=2x3

                           8=2x2x2 =2³

👉💥i) గరిష్ఠ సామాన్య కారణాంకం (గ.సా.కా) లేదా గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం (గ.సా.భా) : 

           ఇచ్చిన సంఖ్యల యొక్క సామాన్య ప్రధాన కారణాంకాల యొక్క కనిష్ట ఘాతాల లబ్దం

వాని యొక్క గ,సా, కా అగును. 

ఉదా : 

60, 168 సంఖ్యలను కారణాంకాల లబ్ధంగా వ్రాయగా 

60 = 2²x 3 x 5; 

                                                                                      

168 =2²x3x7

60, 168 ల యందుగల 

సామాన్య కారణాంకాలు = 2, 3 వాని యొక్క కనిష్ట ఘాతాలు ఆ 2², 3¹ 

 60, 168 ల గ.సా.కా = వాని సామాన్య కారణాంకాల కనిష్ట ఘాతాల లబ్ధం

                                                                                         2² X 3 = 4 X 3 

                                                                    

60, 168 ల గ.సా.కా  = 12 

ii) క.సా.గు : ఇచ్చిన సంఖ్యల యొక్క ప్రతీ ప్రధాన కారణాంకాల గరిష్ట ఘాతాల లబ్ధం వాని క.సా.గు (కనిష్టసామాన్య గుణిజం) అగును. 

ఉదా : 60, 168 సంఖ్యలను వాని కారణాంకాల లబ్ధంగా వ్రాయగా

                                                                   

60 = 2² x 3 x 5; 

                                                                  

168 = 2² x 3 x 7 

60, 168 గల యొక్క అన్ని ప్రధాన కారణాంకాలు = 2, 3, 5, 7 వాని యొక్క 

గరిష్ట ఘాతాలు - 2², 3¹, 5¹, 7¹ 

60, 168 లక.సా.గు వాని గరిష్ట (ప్రతి కారణాంకం యొక్క) ఘాతాల లబ్ధం

                                                                           

2² x 3 x 5 x 7 = 840, 

📙ఒక సంఖ్య యొక్క ఒకట్ల స్థానంలో సున్న (0) ఉంటే ఆ సంఖ్య యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధంలో 2 మరియు 5 ఉంటాయి. దీని విపర్యయము కూడా నిజము,

🖥️. ఒక సంఖ్య యొక్క ఒకట్ల స్థానంలో 5 ఉంటే ఆ సంఖ్య యొక్క ప్రధాన కారణాంకాలలో 5 ఉంటుంది. 

ఉదా :          510 = 2 x5x3 x 17; 

                                               

         620 = 2² x5x31; 

                                                   

         45 = 3²x 5; 

                                                  

        455 = 5 x7x13