వాస్తవ సంఖ్యలు (Real Numbers)
పరిచయం
మన జీవనమంతా సంఖ్యలతో ముడిపడి ఉంది. మీరు పుట్టిన సమయాన్ని గుర్తు తెచ్చుకోండి. మీ తల్లిదండ్రులు మీ పుట్టిన సమయాన్ని, మీ పొడవును, ముఖ్యంగా మీ కాళ్ళు మరియు చేతుల వేళ్ళ సంఖ్యను గణించి ఉంటారు. అలా మొదలై మన జీవితమంతా సంఖ్యలు చివరి దాకా మనతోటే ఉంటాయి.
సంఖ్యలను మీరు ఇంకా ఏయే సందర్భాలల్లో వాడుతారు?
మన వయస్సు, ఆదాయ వ్యయాలు మరియు పొదుపులను గణించే సమయంలో సంఖ్యలను ఉపయోగిస్తాం కదా!
సంఖ్యల యొక్క మరికొన్ని భావనలను మనం ఈ అధ్యాయంలో తెలుసుకోబోతున్నాం. గణిత సామ్రాజ్యంలో సంఖ్యలు ప్రధాన భూమికను పోషిస్తాయి. సంఖ్యల యొక్క గొప్పదనాన్ని మరియు వాటి యొక్క అబ్బుర పరిచే ధర్మాలను అన్వేషించబోతున్నాం. కొన్ని సంఖ్యల సముదాయాలలోని అమరికలు వాటిలోని సౌందర్యం ద్వారా మనకు అందమైన అనుభూతిని కలుగజేస్తాయి.
ఇప్పుడు ఒక ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం.
మీరు ఒక తోటలో విహరిస్తున్నప్పుడు తేనెటీగల గుంపు పువ్వులపై వాలడం గమనించే ఉంటారు కదా!
అలాంటి ఒక సందర్భాన్ని ఊహిద్దాం.
ఒక తేనెటీగల గుంపు రెండు పువ్వులపై సమాన సంఖ్యలో వాలినప్పుడు ఒక తేనెటీగ మిగిలిపోయినది. అదే గుంపు మూడు పువ్వులపై సమాన సంఖ్యలో వాలినప్పుడు రెండు తేనెటీగలు మిగలగా అదే గుంపు నాలుగు పువ్వులపై సమానసంఖ్యలో వాలినప్పుడు మూడు తేనెటీగలు మిగిలిపోయినవి. ఇంకా ఆ తేనెటీగల గుంపు ఐదు పువ్వులపై సమానసంఖ్యలో వాలినప్పుడు నాలుగు తేనెటీగలు మిగిలిపోయినవి. ఒకవేళ ఆ గుంపు గరిష్ఠంగా యాభై తేనెటీగలనే కలిగి ఉందనుకుంటే అప్పుడు ఆ గుంపులోని తేనెటీగల సంఖ్య ఎంత ఉండవచ్చు?
సాధన:
తేనెటీగల గుంపులోని తేనెటీగల సంఖ్య= 'X.'
x≤50.
- ఆ తేనేటీగల గుంపును ఐదు సమాన భాగాలుగా విభజిస్తే ఒక తేనెటీగ కూడా మిగలదుకదా!
ఒక సహజ సంఖ్య 'a' కు అనుగుణంగా
x= 5a+ 0 గా రాయవచ్చు.
- అదే తేనెటీగల గుంపును నాలుగు సమాన భాగాలుగా విభజిస్తే మూడు తేనెటీగలు మిగిలినవి,
ఈ సమాచారాన్ని ఏదేని
ఒక సహజ సంఖ్య 'b' కు అనుగుణంగా
x = 4b + 3 గా రాయవచ్చు.
- ఇంకా అదే తేనెటీగల గుంపును మూడు సమాన భాగాలుగా విభజిస్తే రెండు తేనెటీగలు మిగిలినవి. ఈ సమాచారాన్ని ఏదేని
ఒక సహజ సంఖ్య 'c' కు అనుగుణంగా
x=3c + 2 గా రాయవచ్చు.
- ఇంకా అదే తేనెటీగల గుంపును రెండు సమాన భాగాలుగా విభజిస్తే ఒక తేనెటీగ మిగిలినది. ఈ సమాచారాన్ని ఏదేని
ఒక సహజ సంఖ్య 'd కు అనుగుణంగా
x=2d+ 1 గా రాయవచ్చు.
వీటిని గమనిస్తే ప్రతీ సందర్భంలో ఒక X మరియు దానికి అనుగుణమైన ధనపూర్ణ సంఖ్య y
(ఈ ఉదాహరణలో y విలువలు వరుసగా 5, 4, 3, 2) లు ఉన్నాయి. ఇంకా X ను y అగించినప్పుడల్లా శేషం '' (ఇచ్చట - విలువలు వరుసగా 0, 3, 2, 1) వచ్చే విధంగా ఉన్నాయి.
ఈ పూర్తి విషయాన్ని గమనిస్తే
"ప్రతీ సందర్భంలో r విలువ y కంటే తక్కువ".
ఈ సందర్భాల్లో పై సమీకరణాలను రాసేటప్పుడు మనకు తెలియకుండానే
"యూక్లిడ్ భాగాహార న్యాయం” (Euclids division lemma) ను రాసినాము.
ముందుగా మనం x=5a + 0 రాశాం.
కాబట్టి ఆ తేనెటీగల గుంపులోని తేనెటీగల సంఖ్య 5 యొక్క గుణిజాలలో ఉండవచ్చని గ్రహిస్తాం.
ఒక సంఖ్యను 2చే భాగించినప్పుడు శేషం 1 వస్తే ఆ సంఖ్య బేసి సంఖ్య కావాలి. కాబట్టి ఈ సందర్భంలో 5 యొక్క గుణిజాలలో బేసి సంఖ్యలైన 5, 15, 25, 35, 45 మొదలైన వాటిని పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి. మిగతా రెండు నిబంధనలను వీటిపై ప్రయోగిస్తే మనకు ఆ సంఖ్య 35 అని తెలుస్తుంది.
కాబట్టి ఆ తేనెటీగల గుంపులో 35 తేనెటీగలు ఉన్నాయి. ఇక మన జవాబును సరిచూద్దామా!
i)35ను 2 చే భాగిస్తే శేషం 1 వస్తుంది.
దీనిని 35 = 2 x 17 + 1 గా రాయవచ్చు.
ii) 35 ను 3చే భాగిస్తే శేషం 2 వస్తుంది.
దీనిని 35 = 3 x 11 + 2 గా రాయవచ్చు.
iii) 35 ను 4చే భాగిస్తే శేషం 3 వస్తుంది.
దీనిని 35 = 4 x 8+ 3 గా రాయవచ్చు.
iv) అలాగే 35 ను 5 చే భాగిస్తే శేషం వస్తుంది.
దీనిని 35 = 5 x 7 + 0 గా రాయవచ్చు.
ఈ సాధనలోని తార్కికతను ఈ విధంగా చెప్పవచ్చు.
ప్రతి ధనపూర్ణ సంఖ్యలు a మరియు b (వరుసగా విభాజ్యం మరియు భాజకములు)
పూర్ణాంకాలైన q మరియు r(వరుసగా భాగఫలం మరియు శేషం) లను
a= bq+ r, 0≤r<b ను సంతృప్తి పరిచే విధంగా కనుగొన్నాం.
👉part 1.