1.2 ప్రాథమిక అంకగణిత సిద్ధాంతము
యూక్లిడ్ భాగహార న్యాయం ప్రకారం
"a=bq + q", 0≤r<b అయ్యే విధంగా ధన పూర్ణ సంఖ్యలు a మరియు b ల జతకు అనుగుణంగా q మరియు r లు ఏకైక పూర్ణ సంఖ్యలు వ్యవస్థితమవుతాయి” అని మనకు తెలుసు.
🍠ఆలోచించి, చర్చించి, రాయండి.
యూక్లిడ్ భాగహార న్యాయంలోని a = bq + r లో r=0 అయిన a, b మరియు q మధ్య సంబంధమేమిటి?
సాధన:
a=bq+r
a=bq+0
a=bq
i.e. a=b x q
కావున b మరియు q లు a యొక్క కారణాంకాలు
కనుక 'a' అనేది 'b' చే నిశ్శేషంగా భాగించబడితే 'b' ని 'a' కు కారణాంకంఅంటారు .
ఉదాహరణకు : 24 = 2 x 12
24 = 8 X3
24= 2 X 2 x 2 X 3
24=2x12 అయితే 2 మరియు 12 లను 24 యొక్క కారణాంకాలు అంటాం.
ఇంకా ప్రధాన కారణాంకాలలబ్ధ రూపంలో దీనిని
24 = 2 x 2 x 2 x 3 గా కూడా రాయవచ్చని మనకు తెలుసు.
కొన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు 2, 3, 7, 11 మరియు 23 లను తీసుకుందాము. వీటిలో కొన్నింటిని లేదా అన్నింటిని తీసుకొని ఏ సంఖ్య ఎన్నిసార్లు అయిననూ గుణించడం ద్వారా మనం అతిపెద్ద పూర్ణసంఖ్యలను అపరిమితంగా రాబట్టవచ్చు. వీటిలో మనము కొన్నింటిని పరిశీలిద్దాము.
2x3 X 11 = 66
7 x 11 = 77
7x11 x 23 = 1771
3 x 7 x 11 x 23 = 5313
2 x 3 x 7 x 11 x 23 = 10626
2³x 3 x 7³ = 8232
2² x3 x 7 x 11 x 23 = 21252
ఇప్పుడు, మీరు తీసుకున్న ఒక ప్రధాన సంఖ్యల సమూహములో అవకాశం గల అన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు వున్నాయనుకుందాం. అటువంటి సమూహాన్ని మీరు ఊహించగలరా?
ఈ సమూహంలో సంయుక్త సంఖ్యలు పరిమిత సంఖ్యలో వుంటాయా? లేదా అపరిమితంగా వుంటాయా?
కాని సాధారణంగా మనకు అపరిమితంగా ప్రధానసంఖ్యలు వుంటాయి.
అందుచే మనం అన్ని ప్రధాన సంఖ్యలను విభిన్న రీతులలో గుణిస్తూ పోతే మనకు అపరిమితంగా విభిన్న సంయుక్త సంఖ్యలు కూడా వస్తాయి.
సిద్ధాంతము-1,2 :
అంకగణిత ప్రాథమిక సిద్ధాంతము (Fundamental Theorem of Arithmetic) :
ప్రతి సంయుక్త సంఖ్యను ప్రధానాంకముల లబ్దంగా రాయవచ్చును మరియు ప్రధాన కారణాంకాల క్రమం ఏదైనప్పటికీ ఈ కారణాంకాల లబ్దం ఏకైకము.
ఈ చర్చ ద్వారా మనము అంకగణిత ప్రాథమిక సిద్ధాంతము
“ప్రతి సంయుక్త సంఖ్యను ప్రధానకారణాంక ముల లబ్దంగా” గా నిర్వచింపవచ్చును.
దీనిని మరింత స్పష్టంగా చెప్పాలంటే ప్రధాన సంఖ్యల క్రమం ఏదైనప్పటికీ ప్రతి సంయుక్త సంఖ్యను ప్రధాన కారణాంకముల లబ్దంగా ఏకైకము (unique) గా రాయవచ్చును.
ఉదాహరణకు మనము 210 సంఖ్యను కారణాంకములుగా రాసేటప్పుడు ప్రధానాంకాల క్రమము ఏదైనప్పటికీ దీనిని
210= 2 x 3 x 5 x 7
లేదా
210=3 x 5x1x2
లేదా మరేవిధంగానైననూ లబ్దముగా రాయవచ్చును. అందుచే ఏ సంయుక్త సంఖ్యను అయిననూ ప్రధాన కారణాంకముల లబముగా ఒకేఒక విధంగా రాయవచ్చును. దీనిని మనం సిద్ధాంత పరంగా ఇప్పుడు నిర్వచిద్దాము.
దీనిని, సాధారణంగా ఒక సంయుక్త సంఖ్య
x ను x =p1, p2, .....అని రాయవచ్చు.
దీనిలో P1, P2..... pn
అనేవి ఆరోహణ క్రమంలో రాయబడిన ప్రధానాంకాలు, అంటే p1≤p2p3≤........≤pn
ఈ సందర్భంలో ఒకే రకమైన ప్రధానాంకములు వాడినచో వాటిని ప్రధానాంకాల ఘాతాలుగా రాస్తాము.
ఉదాహరణ:
27300 = 2 X 2 X 3 X 5 X 5 x 7 X13
= 2² X 3X 5² X 7 X 13
🍠ఇవి చేయండి
2310 ను ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దంగా రాయండి. ఈ సంఖ్యను నీ స్నేహితులు ఏవిధంగా కారణాంకాల లద్దంగా
రాసారో చూడండి. నీవు చేసినట్లుగానే వారు కూడా చేసారా ? చివరి ఫలితాన్ని, నీ స్నేహితుల ఫలితంతో సరిచూడుము. దీని కొరకు 3 లేదా 4 సంఖ్యలను తీసుకొని ప్రయత్నించుము. నీవు ఏమి గమనిస్తావు?
సాధనం:
2310=2x1155
=2x3x385
=2x3x5x77
ఇక మనం ప్రాథమిక అంకగణిత సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగిద్దాం.
ఉదాహరణ- 3.
n ఒక సహజసంఖ్య గా గల సంఖ్య 4²తీసుకొండి. n యొక్క ఏ విలువకైనా 4²విలువ గల సంఖ్య 'సున్న' అంకెతో అంతమౌతుందో లేదో సరిచూడండి.
సాధన :
n సహజసంఖ్యగా గల సంఖ్య 4²విలువ గల సంఖ్య సున్నతో అంతం కావాలంటే అది '5' చే నిశ్శేషంగా భాగించబడాలి.
అంటే 4²సంఖ్య యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దంలో 5 ఒక ప్రధాన సంఖ్యగా వుండాలి.
కాని ఇది సాధ్యం కాదు.
ఎందువలన అనగా 4²= 2⁴
అందుచే 4² యొక్క ప్రధానకారణాంకాల లబ్దంలో 5 లేనందున, n ఏ సహజ సంఖ్య విలువకైననూ 4²అనే సంఖ్య 'సున్న'తో అంతము కానేరదు.
మీరు ఇది వరకు రెండు ధనపూర్ణసంఖ్యలు గ.సా.కా (గరిష్ఠ సామాన్య కారణాంకం) మరియు క.సా.గు (కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం) ను అంకగణిత ప్రాథమిక సిద్ధాంతం ఉపయోగించి మనకు తెలియకుండానే కనుగొన్నాము.
ఈ పద్ధతినే మనము ప్రధానకారణాంకాల పద్ధతి (Prime factorization method) అంటాము.
కింది ఉదాహరణ ద్వారా మనము ఈ పద్ధతిని ఒకసారి గుర్తుకు తెచ్చుకుందాము.
ఉదాహరణ.4)
12 మరియు 18 ల యొక్క గ.సా.కా మరియు క.సా.గులను ప్రధాన కారణాంకాల పద్ధతిలో కనుగొనుము
సాధన : మనకు
12=2X 2 x 3
= 2²x 3¹
18=2x3x3
= 2¹ x 3² అగును
12, 18 ల గ.సా. కా = 2¹x 3¹ = 6
(సంఖ్యల యొక్క సామాన్య ప్రధాన కారణాంకముల
కనిష్ఠ ఘాతాల లబ్ధం)
12, 18 ల క.సా.గు = 2² x 3²
= 4x9
=36
(సంఖ్యల యొక్క ప్రధాన కారణాంకములలో ప్రతి దాని గరిష్ఠ ఘాతాల లబ్ధం)
పై ఉదాహరణ నుండి, మీరు ఒక సంబంధము అంటే
(12, 18) ల గ.సా.5 X (12, 18) ల క.సా.గు = 12 x 18 లబ్ధం అయినదని మీరు గమనించే వుంటారు.
అనగా రెండు ధనపూర్ణసంఖ్యలు a మరియు b, లు అయినచో వాటి
గ.సా.కా(a,b) x క.సా.గు(a, b) = ax b అవుతుందని సరిచూడవచ్చును.
దీనిని బట్టి రెండు ధనపూర్ణ సంఖ్యలు, వాటి గ.సా.కా తెలిసినప్పుడు ఆ సంఖ్యల క.సా.గును ఈ ఫలితం ఆధారంగా కనుగొనవచ్చును.
🍠ఇవి చేయండి
ఇవ్వబడిన సంఖ్యల జతల యొక్క క.సా.గు మరియు గ.సా.భా లను ప్రధాన కారణాంక పద్ధతి ఆధారంగా కనుగొనుము.
(i) 120, 90
(ii) 50, 60
(iii) 37, 49
సాధన:
i) 120 = 2 x 60
=2 x 2 x 30
=2 x 2 x 2 x 15
=2 x 2 x 2 x 3 x 5
120 = 2³ x 3 x 5
90 = 2 x 45
=2x3x15
=2x3x3x5
90=2x3²x5
120 మరియు 90 ల గ. సా. భా =2x3x5=30
120 మరియు 90 ల క. సా. గు =2³x3²x5=360
ii)
50=2x25
=2x5x5
50=2x5²
60=2x30
=2x2x15
=2x2x3x5
60=2²x3x5
50 మరియు 60 ల గ. సా. భా =2x5=10
50 మరియు 60 ల క. సా. గు =2²x3x5²=300
iii)
37=1x37
49=7x7
=1x7x7
49=1x7²
37 మరియు 49 ల గ సా భా =1 (37 మరియు 49 లు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు లేదా సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు)
ప్రయత్నించండి
'n' మరియు 'm'ఏవేని సహజ సంఖ్యలకు
3² X 4² యొక్క ఫలిత సంఖ్య 0 లేదా 5 తో అంతం కాదని చూపుము.
సాధన:
అభ్యాసము - 1.2
1) కింది వానిలో ప్రతిసంఖ్యను ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దంగా రాయండి.
(i) 140 (i) 156 (iii) 3825 (iv) 5005
(V) 7429
సాధన:
i)
140=2x70
=2x2x35
=2x2 x5x7
ii)
156=2×78
=2x2x39
=2x2x3x13
156=2²x3x13
iii) 3825 = 3x1275
=3x3x425
=3x3x5x85
=3x3x5x5x19
3825=3²x5²x19
iv)
5005=5x1001
=5x7x143
5005=5x7x11x13
iv)
7429=17x437
=17x19x23
2. కింది పూర్ణసంఖ్యల యొక్క క.సా.గు మరియు గ. సా.కా లను ప్రధాన కారణాంకాల లబ పద్ధతిలో కనుగొనండి.
(i) 12, 15 మరియు 21
సాధన :
12=2x6
=2x2x3
12=2²x3
15=3x5
21=3x7
12,15 మరియు 21 గ సా భా =
(ii) 17, 23 మరియు 29 (iii) 8, 9 మరియు 25
(iv) 72 మరియు 108
(v) 306 మరియు 657
3. n ఒక సహజ సంఖ్య అయిన 6" సంఖ్య 'సున్న'తో అంతమగునో, కాదో సరిచూడండి.
4. 7x 11 x 13 + 13 మరియు 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 + 5 ఏవిధంగా సంయుక్త సంఖ్యలగునో వివరించండి.
5. (17 x 11 x 2) + (17 x 11 x 5) అనేది ఒక సంయుక్త సంఖ్య అని ఏవిధంగా నిరూపిస్తావు?
వివరించండి.
6. 6" యొక్క ఫలిత సంఖ్యలో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె ఏది?
Tags
REALNUMBERS