సంఖ్యామానం Number system
సహజ సంఖ్యలు Naturalnumbers
👉* వస్తువులను లెక్కించుటకు (count చేయుటకు) అవసరమయ్యే సంఖ్యలను 'సహజ సంఖ్యలు' అంటారు.
వీటని N తోసూచిస్తారు.
N = {1, 2, 3, .........}
పూర్ణాంకాలు Wholenumbers
👉★ గణిత అవసరాలను తీర్చుటకు సహజ సంఖ్య సమితి పూర్తి స్థాయిలో సరిపోవుటలేదనే విషయాన్ని గ్రహించుట ద్వారా “0” (సున్న) ను సహజ సంఖ్యా సమితికి చేర్చుట వల్ల నూతనంగా ఏర్పడే సంఖ్యా సమితిని పూర్ణాంకాలు అంటాం.
దీనిని 'W' తో సూచిస్తాం.
పూర్ణాంకాలు W = {0, 1, 2, 3, ............ }
★ గణితశాస్త్రానికి “0” సున్నాను పరిచయం చేసినది మన భారతీయులే.
పూర్ణ సంఖ్యలుIntegers/Zahlennumbers
👉* సున్నా కంటే తక్కువ విలువ కలిగినవి ఋణపూర్ణాంకాలు.
పూర్ణాంకాల సమితి (W) కు ఋణ పూర్ణాంకాలు చేర్చుట ద్వారా ఏర్పడిన సంఖ్యాసమితిని “పూర్ణ సంఖ్యలు” అంటాం. పూర్ణ సంఖ్యలను 'Z' తో సూచిస్తాం.
Z = {........ 4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ............}
అకరణీయసంఖ్యలు(Rationalnumbers/Quotientnumbers)
* పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు, అంతమయ్యే దశాంశాలు, అంతంకాకపోయినా ఆవర్తనమయ్యే దశాంశాలు అన్నింటిని అకరణీయసంఖ్యలు అంటారు.
ఈ అకరణీయ సంఖ్యా సమితిని 'Q' తో సూచిస్తాం. ఈ అకరణీయ సంఖ్యా సమితి పైన చెప్పిన అన్ని సంఖ్యాసమితులు (N, W, Z) కంటే కూడా పెద్ద సంఖ్యా సమితి.
ఈ అకరణీయ సంఖ్యలను రూపంలో వ్రాయగలుగుతాము.
p, q లనేవి 'Z' కు చెందిఉంటాయి.q#0అవ్వాలి.
P = {p/q where p, q€Z and q≠0}
కరణీయ సంఖ్యలు (Irrationalnumbers)
👉* అంతములేని, ఆవర్తనముకాని (దశాంశ రూపంలో గల) సంఖ్యలను కరణీయ సంఖ్యలు అంటాం.
వీటిని Q' తోసూచిస్తాం.
ఉదా: √2, √3, √5, √7,...
2.1415379179467712.......
32.3218965479086521456.....
వాస్తవసంఖ్యలు(Realnumbers)
👉* కరణీయ సంఖ్యలు, అకరణీయ సంఖ్యలను కలిపి వ్రాయగా ఏర్పడే సంఖ్యాసమితిని వాస్తవసంఖ్యలు అంటాం.
దీనిని R తో సూచిస్తాం, R = QUQ'
ప్రధాన సంఖ్యలు (Primenumbers):
1 మరియు అదే సంఖ్య మాత్రమే కారణాంకాలుగా గల 1 కన్నా పెద్దవైన సహజసంఖ్యలు.
ఉదా:
2, 3, 5, 7, ప్రధాన సంఖ్య
నిర్ధారణ పరీక్ష :
P ఒక సంఖ్య మరియు n² > p అయ్యేటట్లు ఉండే కనిష్ఠ సంఖ్య n అయిన n కన్నా చిన్నది లేదా సమానమైన ఏ ప్రధాన సంఖ్యతోను పై భాగింపబడకపోతే p ఒక ప్రధాన సంఖ్య అవుతుంది.
ఉదా 1: 320
సాధన:
18²> 320.
18 కన్నా తక్కువైన ప్రధాన సంఖ్యలు 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17లలో ఏ సంఖ్యతోను 320 భాగింపబడదు.
కావున 320 ప్రధాన సంఖ్య అవుతుంది.
ఉదా 2:
253
16² > 252.
16 కన్నా చిన్నవైన ప్రధాన సంఖ్యలలో ఒకటైన 11 తో 252 భాగింపబడుతుంది.
252 ప్రధానసంఖ్య కాదు.
సంయుక్త సంఖ్యలు :
1 మరియు అదే సంఖ్యతో పాటు ఇతర సంఖ్యలతో కూడా భాగింపబడే సహజ సంఖ్యలు.
లేదా
మూడు లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ కారణాంకంలు కలిగిన సంఖ్యలను సంయుక్త సంఖ్యలు అంటారు.
ఉదాహరణ:
4,6,8,.........
💐* యూక్లిడ్ భాగహార న్యాయము :
a=bq+r, 0<r<b అయ్యే విధంగా a మరియు b ల జతకు అనుగుణంగా
q మరియు r లు ఏకైక పూర్ణసంఖ్యలు వ్యవస్థితం అవుతాయి.
💐 అంకగణిత ప్రాథమిక సిద్ధాంతము :
ప్రతి సంయుక్త సంఖ్యను ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధంగా రాయవచ్చును మరియు
ప్రధాన కారణాంకాల క్రమం ఏదైనప్పటికీ ఈ కారణాంకాల లబ్దము ఏకైకము.
4=2x2
6=2x3
8=2x2x2 =2³
👉💥i) గరిష్ఠ సామాన్య కారణాంకం (గ.సా.కా) లేదా గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం (గ.సా.భా) :
ఇచ్చిన సంఖ్యల యొక్క సామాన్య ప్రధాన కారణాంకాల యొక్క కనిష్ట ఘాతాల లబ్దం
వాని యొక్క గ,సా, కా అగును.
ఉదా :
60, 168 సంఖ్యలను కారణాంకాల లబ్ధంగా వ్రాయగా
60 = 2²x 3 x 5;
168 =2²x3x7
60, 168 ల యందుగల
సామాన్య కారణాంకాలు = 2, 3 వాని యొక్క కనిష్ట ఘాతాలు ఆ 2², 3¹
60, 168 ల గ.సా.కా = వాని సామాన్య కారణాంకాల కనిష్ట ఘాతాల లబ్ధం
2² X 3 = 4 X 3
60, 168 ల గ.సా.కా = 12
ii) క.సా.గు : ఇచ్చిన సంఖ్యల యొక్క ప్రతీ ప్రధాన కారణాంకాల గరిష్ట ఘాతాల లబ్ధం వాని క.సా.గు (కనిష్టసామాన్య గుణిజం) అగును.
ఉదా : 60, 168 సంఖ్యలను వాని కారణాంకాల లబ్ధంగా వ్రాయగా
60 = 2² x 3 x 5;
168 = 2² x 3 x 7
60, 168 గల యొక్క అన్ని ప్రధాన కారణాంకాలు = 2, 3, 5, 7 వాని యొక్క
గరిష్ట ఘాతాలు - 2², 3¹, 5¹, 7¹
60, 168 లక.సా.గు వాని గరిష్ట (ప్రతి కారణాంకం యొక్క) ఘాతాల లబ్ధం
2² x 3 x 5 x 7 = 840,
📙ఒక సంఖ్య యొక్క ఒకట్ల స్థానంలో సున్న (0) ఉంటే ఆ సంఖ్య యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధంలో 2 మరియు 5 ఉంటాయి. దీని విపర్యయము కూడా నిజము,
🖥️. ఒక సంఖ్య యొక్క ఒకట్ల స్థానంలో 5 ఉంటే ఆ సంఖ్య యొక్క ప్రధాన కారణాంకాలలో 5 ఉంటుంది.
ఉదా : 510 = 2 x5x3 x 17;
620 = 2² x5x31;
45 = 3²x 5;
455 = 5 x7x13