పాస్కల్ ఐడెంటిటీ (Pascal's Identity) సంయోగాల (Combinations) యొక్క ఒక ముఖ్యమైన ధర్మం

పాస్కల్ ఐడెంటిటీ (Pascal's Identity)

సంయోగాల (Combinations) యొక్క ఒక ముఖ్యమైన ధర్మం

సమస్య (Problem)

నిరూపించండి (Prove that):

$$ ^nC_{r-1} + {}^nC_r = {}^{n+1}C_r $$

గణిత నిరూపణ (Mathematical Proof)

దశ 1: ప్రాథమిక సూత్రం

ఈ నిరూపణకు, సంయోగాల ప్రాథమిక సూత్రం మనకు తెలియాలి:

$$ ^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!} $$

మనం సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు (LHS) నుండి ప్రారంభిద్దాం.

$$ \text{LHS} = {}^nC_{r-1} + {}^nC_r $$

దశ 2: సూత్రాన్ని ఉపయోగించి విస్తరణ

ప్రాథమిక సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రెండు పదాలను వ్రాద్దాం:

$$ \text{LHS} = \frac{n!}{(r-1)!(n-(r-1))!} + \frac{n!}{r!(n-r)!} $$

దీన్ని సూక్ష్మీకరిస్తే:

$$ \text{LHS} = \frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!} + \frac{n!}{r!(n-r)!} $$

దశ 3: సామాన్య హారం (Common Denominator)

ఈ రెండు భిన్నాలను కలపడానికి, మనం సామాన్య హారం కనుగొనాలి. హారాలను పోల్చి చూస్తే:

• \( (r-1)! \) మరియు \( r! \). ఇక్కడ \( r! = r \times (r-1)! \).
• \( (n-r)! \) మరియు \( (n-r+1)! \). ఇక్కడ \( (n-r+1)! = (n-r+1) \times (n-r)! \).

కాబట్టి, సామాన్య హారం: \( r!(n-r+1)! \)

దశ 4: సూక్ష్మీకరణ

ఇప్పుడు భిన్నాలను సర్దుబాటు చేసి కలుపుదాం:

$$ \text{LHS} = \frac{n! \cdot \color{blue}{r}}{{\color{blue}{r}} \cdot (r-1)!(n-r+1)!} + \frac{n! \cdot \color{red}{(n-r+1)}}{r! \cdot (n-r)! \cdot \color{red}{(n-r+1)}} $$

$$ \text{LHS} = \frac{n! \cdot r + n! \cdot (n-r+1)}{r!(n-r+1)!} $$

లవంలో \( n! \) ను కామన్ తీద్దాం:

$$ \text{LHS} = \frac{n![r + (n-r+1)]}{r!(n-r+1)!} $$

బ్రాకెట్లను సూక్ష్మీకరిస్తే:

$$ \text{LHS} = \frac{n![n+1]}{r!(n-r+1)!} = \frac{(n+1)n!}{r!(n-r+1)!} $$

మనకు \( (n+1)n! = (n+1)! \) అని తెలుసు. కాబట్టి:

$$ \text{LHS} = \frac{(n+1)!}{r!(n-r+1)!} $$

దశ 5: ముగింపు

ఇప్పుడు, కుడి వైపు (RHS) విలువను చూద్దాం:

$$ \text{RHS} = {}^{n+1}C_r = \frac{(n+1)!}{r!((n+1)-r)!} = \frac{(n+1)!}{r!(n-r+1)!} $$

ఇక్కడ, LHS = RHS అని స్పష్టంగా ఉంది. కాబట్టి, సూత్రం నిరూపించబడింది.

కథ రూపంలో వివరణ (Intuitive Explanation)

ఈ సూత్రాన్ని సులభంగా గుర్తుంచుకోవడానికి ఒక చిన్న కథ సహాయపడుతుంది.

మన దగ్గర \( (n+1) \) మంది వ్యక్తులు ఉన్నారనుకుందాం. వీరిలో నుండి \( r \) మంది సభ్యులతో ఒక కమిటీని ఎన్నుకోవాలి. దీన్ని మనం \( {}^{n+1}C_r \) విధాలుగా చేయవచ్చు. (ఇది మన RHS).

ఇప్పుడు, ఆ \( (n+1) \) మందిలో 'రాము' అనే ఒక ప్రత్యేక వ్యక్తి ఉన్నాడనుకుందాం. మనం ఎంచుకునే కమిటీలో రెండు అవకాశాలు ఉంటాయి:

1

రాము కమిటీలో ఉన్నాడు:

రామును ఇప్పటికే కమిటీలోకి తీసుకున్నాం. ఇప్పుడు మిగిలిన \( (r-1) \) సభ్యులను మిగతా \( n \) మంది నుండి ఎంచుకోవాలి. దీన్ని మనం \( {}^nC_{r-1} \) విధాలుగా చేయవచ్చు.

2

రాము కమిటీలో లేడు:

రామును పూర్తిగా పక్కన పెట్టేశాం. ఇప్పుడు మనకు కావలసిన \( r \) మంది సభ్యులను మిగిలిన \( n \) మంది నుండి ఎంచుకోవాలి. దీన్ని మనం \( {}^nC_r \) విధాలుగా చేయవచ్చు.

మొత్తం కమిటీలను ఏర్పాటు చేసే మార్గాలు = (రాము ఉన్న కమిటీలు) + (రాము లేని కమిటీలు).

$$ {}^{n+1}C_r = {}^nC_{r-1} + {}^nC_r $$

Created to make mathematics learning easier.